Умножение вероятностей
Умножение вероятностей — правило, по которому находят вероятность совместного наступления независимых событий: перемножают вероятности каждого из них.
Формула
Для нескольких независимых событий правило продолжается: вероятность одновременного наступления всех событий равна произведению их вероятностей. Например, для событий \(A\), \(B\) и \(C\): \(P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\).
Монету подбрасывают два раза. Событие \(A\) — в первом броске выпал орёл, событие \(B\) — во втором броске выпал орёл. Броски независимы, а \(P(A)=P(B)=\frac{1}{2}\). Поэтому вероятность получить орла в обоих бросках равна \(P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
Формулу произведения нельзя автоматически применять к любым событиям. Если события зависят друг от друга, используют условную вероятность: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\). Для независимых событий \(P(B\mid A)=P(B)\), и получается обычное умножение.
Игральный кубик бросают два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка?
Умножение вероятностей применяют в задачах о последовательных независимых испытаниях: бросках монеты или кубика, выборе предметов с возвращением. Чтобы построить корректную модель случайного эксперимента, сначала проверьте, действительно ли испытания независимы.
Главное
- Для независимых событий вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей.
- Основная формула: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
- При зависимости событий нужно учитывать условную вероятность, а не применять формулу механически.