Независимые события
Независимые события — это события, при которых наступление одного не изменяет вероятность наступления другого. Например, результат первого броска монеты не влияет на результат второго.
Признак независимости
На практике независимость проверяют с помощью вероятности пересечения событий: \(A\cap B\) означает, что произошли и \(A\), и \(B\). Если выполняется равенство ниже, события независимы.
Это частный случай умножения вероятностей. Если вероятности событий положительны, независимость также можно выразить через условную вероятность: \(P(B\mid A)=P(B)\).
Монету бросают два раза. Пусть \(A\) — в первом броске выпал орёл, а \(B\) — во втором броске выпал орёл. Тогда \(P(A)=\frac{1}{2}\) и \(P(B)=\frac{1}{2}\). Результат первого броска не влияет на второй, поэтому события независимы: \(P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
Независимость и несовместность — разные свойства. Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому при их пересечении \(P(A\cap B)=0\). Если оба события имеют ненулевые вероятности, несовместные события не являются независимыми: наступление одного гарантирует ненаступление другого.
Кубик бросают два раза. Событие \(A\) — в первом броске выпало число 6, событие \(B\) — во втором броске выпало чётное число. Какова вероятность \(A\cap B\), если события независимы?
Главное
- Независимые события не влияют на вероятности друг друга.
- Для проверки используют формулу \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
- Независимость не означает несовместность: независимые события могут произойти одновременно.