Сложение вероятностей
Сложение вероятностей — правило, позволяющее найти вероятность объединения событий, то есть вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них. Для несовместных событий вероятности складывают, а для совместных вычитают вероятность их одновременного наступления.
Сначала полезно повторить понятия объединения и пересечения событий. Объединение \(A\cup B\) означает «произошло хотя бы одно событие», а пересечение \(A\cap B\) — «произошли оба события». Эти обозначения относятся к свойствам вероятности.
Формулы
В общей формуле вероятности событий сначала складываются. Затем вычитается \(P(A\cap B)\), потому что при сложении эта общая часть была посчитана дважды.
Пусть \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), а \(P(A\cap B)=0{,}2\). Тогда \(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7\). Вероятность наступления хотя бы одного события равна \(0{,}7\).
Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому \(P(A\cap B)=0\). Независимые события могут наступить одновременно: независимость не означает несовместность. Для них обычно используют формулу \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
События \(A\) и \(B\) несовместны, \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}4\). Чему равна \(P(A\cup B)\)?
Главное
- Для несовместных событий: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
- Для совместных событий: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
- Объединение означает «хотя бы одно», а пересечение — «оба события одновременно».