Формула полной вероятности
Формула полной вероятности помогает найти вероятность события, если оно может произойти в нескольких несовместных случаях, образующих все возможные варианты. Для каждого случая используют соответствующую условную вероятность.
Формула
Здесь \(P(H_i)\) — вероятность случая \(H_i\), а \(P(A\mid H_i)\) — вероятность события \(A\) при условии, что произошёл случай \(H_i\). События \(H_1,\ldots,H_n\) должны быть несовместными: одновременно происходить могут не более одного из них. Кроме того, один из случаев обязательно происходит, поэтому \(P(H_1)+\ldots+P(H_n)=1\).
Сначала полезно выполнить сложение вероятностей для разбиения ситуации на случаи, а затем применить формулу полной вероятности. Она основана на умножении вероятностей для каждого отдельного случая.
В первой коробке 2 белых и 3 чёрных шара, во второй — 4 белых и 1 чёрный. Коробку выбирают случайно, затем достают один шар. Пусть \(A\) — достали белый шар; \(H_1\) и \(H_2\) — выбрали первую и вторую коробку. Тогда \(P(H_1)=P(H_2)=\frac12\), \(P(A\mid H_1)=\frac25\), \(P(A\mid H_2)=\frac45\). Поэтому \(P(A)=\frac12\cdot\frac25+\frac12\cdot\frac45=\frac35\).
Формула полной вероятности находит \(P(A)\) через известные условные вероятности \(P(A\mid H_i)\). Формула Байеса решает обратную задачу: по наступившему событию \(A\) находит вероятность конкретного случая \(H_i\).
В двух равновероятных урнах вероятность красного шара равна \(\frac13\) и \(\frac23\). Какова общая вероятность достать красный шар?
Главное
- Разбейте ситуацию на попарно несовместные случаи, образующие полную группу.
- Для каждого случая перемножьте его вероятность и условную вероятность события, затем сложите результаты.
- Формула полной вероятности находит общую вероятность события; обратную задачу решает формула Байеса.