Условная вероятность
Условная вероятность показывает, насколько вероятно событие \(A\), если известно, что событие \(B\) уже произошло. При этом рассматриваются не все возможные исходы, а только те, которые совместимы с условием \(B\).
Формула
Событие \(A\cap B\) означает, что произошли одновременно и \(A\), и \(B\). Поэтому для нахождения условной вероятности сначала определяют вероятность совместного наступления событий, а затем делят её на вероятность условия. Формула связана с умножением вероятностей: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)\).
В коробке 3 красных и 2 синих карандаша. Наугад достали один карандаш, но известно, что он не синий. Какова вероятность, что он красный? Условие означает, что остались только 3 красных карандаша из 3 возможных, поэтому \(P(\text{красный}\mid\text{не синий})=1\). Если бы карандаш выбирали без дополнительного условия, вероятность красного была бы \(\frac{3}{5}\).
Условная вероятность не всегда совпадает с обычной вероятностью события. Знание о событии \(B\) изменяет множество рассматриваемых исходов. Если же события независимы, то условие не влияет на вероятность: \(P(A\mid B)=P(A)\). Подробнее об этом — на странице независимые события.
В классе 12 девочек и 8 мальчиков. Известно, что выбранный ученик — девочка. Какова вероятность, что он отличник, если среди девочек 6 отличниц?
Главное
- \(P(A\mid B)\) — вероятность события \(A\), если известно, что \(B\) уже произошло.
- Формула: \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\), где \(P(B)>0\).
- При вычислении условной вероятности рассматривают только исходы, совместимые с условием.