Сравнение рациональных чисел
Сравнение рациональных чисел помогает определить, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Для этого учитывают знаки чисел, положение на координатной прямой и правила сравнения дробей и десятичных записей.
Что значит сравнить числа
Рациональные числа — это целые числа, обыкновенные дроби и конечные или периодические десятичные дроби, которые можно представить в виде \(\frac{a}{b}\), где \(a\) — целое число, а \(b\ne0\). Подробнее понятие разобрано на странице рациональные числа.
Сравнить два числа — значит установить, какое из них больше, меньше или равно другому. Запись \(a<b\) означает, что число \(a\) меньше числа \(b\); запись \(a>b\) — что \(a\) больше \(b\); запись \(a=b\) — что числа равны.
На числовой прямой больше то число, которое расположено правее. Меньше то, которое расположено левее. Поэтому сравнение можно выполнять мысленно по положению чисел на прямой или с помощью правил для конкретного вида записи.
Если \(a\) расположено левее \(b\) на числовой прямой, то \(a<b\). Для любых двух рациональных чисел выполняется ровно одно из трёх отношений: \(a<b\), \(a=b\) или \(a>b\).
Сравнение целых чисел и чисел с разными знаками
Сначала определите знаки чисел. Это самый быстрый этап алгоритма.
- Любое положительное число больше нуля: \(a>0\), если \(a>0\).
- Нуль больше любого отрицательного числа: \(0>-b\), если \(b>0\).
- Любое положительное число больше любого отрицательного: если \(a>0\) и \(b>0\), то \(a>-b\).
- Два числа с одинаковым знаком сравнивают отдельно по их модулям.
Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число, до нуля. Он неотрицателен: \(|a|\ge0\). Для положительного числа \(|a|=a\), а для отрицательного \(|-a|=a\). Перед сравнением чисел с разными знаками полезно вспомнить страницу модуль числа.
Для отрицательных целых чисел действует важное правило: из двух отрицательных больше то, у которого меньше модуль. Например, \(-3>-8\), потому что число \(-3\) ближе к нулю, а \(3<8\).
Если \(a<0\) и \(b<0\), то \(a>b\) тогда и только тогда, когда \(|a|<|b|\). При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется по сравнению с их положительными модулями.
Какое неравенство верно?
Сравнение обыкновенных дробей
При сравнении дробей сначала определите их знаки. Правила для отрицательных дробей основаны на тех же свойствах, что и для целых чисел. Подробнее о записи и строении дроби см. обыкновенная дробь, а об отрицательных дробях — отрицательные дроби.
- Положительная и отрицательная дроби: положительная дробь больше отрицательной.
- Две положительные дроби с одинаковыми знаменателями: больше та, у которой больше числитель.
- Две положительные дроби с одинаковыми числителями: больше та, у которой меньше знаменатель.
- При разных знаменателях приведите дроби к общему знаменателю или сравните их крест-накрест.
- Две отрицательные дроби сравнивают по модулям, меняя направление неравенства.
Крест-накрест можно сравнивать положительные дроби с положительными знаменателями. Для отрицательных дробей сначала удобно вынести знак «минус» и применить правило сравнения отрицательных чисел.
Сравним \(-\frac{5}{12}\) и \(-\frac{3}{8}\). Обе дроби отрицательные, поэтому сначала сравним модули: \(\frac{5}{12}\) и \(\frac{3}{8}\). Перемножаем крест-накрест: \(5\cdot8=40\), \(3\cdot12=36\), значит \(\frac{5}{12}>\frac{3}{8}\). При возвращении к отрицательным дробям знак меняется: \(-\frac{5}{12}<-\frac{3}{8}\).
Сравнение десятичных дробей
Чтобы сравнить десятичные дроби, сначала сравните знаки, затем целые части, а после — цифры в одинаковых разрядах. Нули в конце десятичной дроби не меняют её значения: \(0,7=0,70=0,700\).
- Если знаки разные, положительное число больше отрицательного.
- Если обе дроби положительные, сравните целые части. При равенстве сравнивайте цифры после запятой слева направо.
- Если обе дроби отрицательные, сравните их модули и измените знак неравенства.
- Если одна запись короче, допишите справа нули: например, \(2,4=2,40\).
Например, \(3,41<3,5\), потому что \(3,5=3,50\), а в разряде десятых \(4<5\). Для отрицательных чисел наоборот: \(-3,41>-3,5\), так как \(3,41<3,50\).
Сравним \(-2,308\) и \(-2,38\). Приведём записи к одинаковому числу знаков после запятой: \(-2,380\) и \(-2,308\). Сравним модули: в разряде десятых цифры одинаковы, а в разряде сотых \(0<8\), поэтому \(2,308<2,380\). Так как числа отрицательные, получаем \(-2,308>-2,38\).
Не сравнивайте отрицательные десятичные дроби только по цифрам после запятой без учёта знака. Ошибка: считать \(-1,9<-1,25\), потому что \(9>25\) или потому что запись кажется «больше». Правильно: \(1,90>1,25\), следовательно, \(-1,90<-1,25\). Также не забывайте, что \(0,5=0,50\), а не число, отличное от него.
Универсальный алгоритм
Алгоритм подходит для целых чисел, дробей и десятичных записей.
- Определите знак каждого числа.
- Если знаки разные, сразу установите порядок: положительное число больше отрицательного.
- Если оба числа равны нулю или имеют одинаковые значения, запишите равенство.
- Если числа положительные, сравните их обычным способом: целую часть, разряды, числители или произведения крест-накрест.
- Если числа отрицательные, сравните модули и измените направление неравенства.
- Проверьте ответ по числовой прямой: большее число должно быть правее.
Для сложного сравнения замените числа равными им более удобными записями: \(-0,6=-0,60\), \(\frac{1}{2}=0,5\), \(-\frac{7}{4}=-1,75\). Но при переводе дроби в десятичную запись следите, чтобы значение сохранялось.
На экзамене часто встречается последовательность чисел. После попарного сравнения расположите их по возрастанию — от меньшего к большему — или по убыванию — от большего к меньшему. Эта тема связана со страницей порядок рациональных чисел. Для изображения промежутков на прямой пригодится числовые промежутки на прямой.
Быстрая проверка
Главное
- На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.
- Положительное число больше нуля и любого отрицательного числа; нуль больше любого отрицательного числа.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.
- Положительные дроби сравнивают по целым частям, разрядам, общему знаменателю или крест-накрест.
- При сравнении отрицательных дробей и десятичных записей сначала сравнивают модули, а затем меняют направление неравенства.