Числовые промежутки на прямой
Числовой промежуток — это множество чисел, расположенных между заданными границами. На числовой прямой промежутки изображают выделением части прямой, а границы отмечают пустыми или закрашенными точками в зависимости от того, входят ли они в множество.
Что такое числовой промежуток
Чтобы читать промежуток, сначала определяют его левую и правую границы, затем выясняют, входят ли сами границы в рассматриваемое множество. Направление числовой прямой обычно идёт слева направо: числа увеличиваются, поэтому меньшее число находится левее большего.
Числовой промежуток — множество всех чисел, удовлетворяющих одному или нескольким условиям и расположенных между заданными границами или с одной стороны от границы.
Для правильного чтения полезно вспомнить расположение чисел на прямой и сравнение рациональных чисел. Например, если \(a<b\), то точка \(a\) находится левее точки \(b\).
Основные виды промежутков
В жазбалар промежутка используются круглые и квадратные скобки. Круглая скобка означает, что граница не кіреді в промежуток; квадратная — что граница кіреді.
| Неравенство | Запись промежутка | Название |
|---|---|---|
| \(a<x<b\) | \((a;b)\) | интервал |
| \(a\le x\le b\) | \([a;b]\) | отрезок |
| \(a\le x<b\) | \([a;b)\) | полуинтервал |
| \(a<x\le b\) | \((a;b]\) | полуинтервал |
| \(x>a\) | \((a;+\infty)\) | открытый луч |
| \(x\ge a\) | \([a;+\infty)\) | закрытый луч |
| \(x<a\) | \((-\infty;a)\) | открытый луч |
| \(x\le a\) | \((-\infty;a]\) | закрытый луч |
В бесконечности квадратная скобка не ставится: \(+\infty\) и \(-\infty\) не являются числами и не могут принадлежать промежутку. Поэтому жазбалар \([a;+\infty]\) и \((-\infty;b]\) неверны.
Точки на рисунке и знаки неравенства
При изображении промежутка используются два вида точек. Пустая точка показывает, что граничное число не кіреді: ей соответствуют знаки \(<\) немесе \(>\). Закрашенная точка показывает, что число кіреді: ей соответствуют знаки \(\le\) немесе \(\ge\).
- \(x>a\): пустая точка в \(a\), выделяют часть прямой вправо.
- \(x\ge a\): закрашенная точка в \(a\), выделяют часть прямой вправо.
- \(x<a\): пустая точка в \(a\), выделяют часть прямой влево.
- \(x\le a\): закрашенная точка в \(a\), выделяют часть прямой влево.
- \(a<x<b\): две пустые точки и выделенный участок между ними.
- \(a\le x\le b\): две закрашенные точки и выделенный участок между ними.
Сначала найдите границы и расположите их слева направо. Затем посмотрите на вид каждой точки: пустая означает строгий знак, закрашенная — нестрогий. После этого определите, выделена часть между точками или с одной стороны от точки.
Какой промежуток соответствует неравенству \(-2\le x<4\)?
Как перейти от неравенства к рисунку
Алгоритм одинаков для любого тапсырмалар. Сначала отметьте на прямой граничные числа, учитывая масштаб координатной прямой. Затем выберите тип точки и направление выделения. Если промежуток ограничен двумя числами, выделяйте часть между ними; если ограничение только одно, выделяйте луч.
Обратно, чтобы записать неравенство по рисунку, прочитайте точки слева направо. Например, закрашенная точка в \(1\) и пустая точка в \(5\) с выделенным участком между ними дают \(1\le x<5\), или \(x\in[1;5)\).
На прямой изображён промежуток: закрашенная точка в \(-1\), пустая точка в \(6\), выделен участок между ними. Запишем его двумя способами.
Показать Шешім Шешім
1. Левая граница равна \(-1\). Точка закрашена, поэтому \(-1\) кіреді: \(x\ge-1\).
2. Правая граница равна \(6\). Точка пустая, поэтому \(6\) не кіреді: \(x<6\).
3. Выделена часть между границами, значит выполняются оба условия одновременно: \(-1\le x<6\).
Жауабы: \(-1\le x<6\), или \(x\in[-1;6)\).
Промежутки, заданные объединением условий
Иногда множество состоит из двух частей. Например, условие \(x<-2\) немесе \(x\ge3\) задаёт два луча, поэтому используется объединение промежутков: \((-\infty;-2)\cup[3;+\infty)\). Знак \(\cup\) читается «объединение»: подходят числа хотя бы из бір промежутка.
Если число должно одновременно удовлетворять двум условиям, рассматривают общую часть. Это пересечение. Например, условия \(x\ge1\) и \(x<4\) вместе дают \(1\le x<4\), то есть \([1;4)\).
Слово «и» обычно означает общую часть промежутков, а слово «или» — объединение. Если условия получены из системы неравенств, ищите пересечение; если из совокупности — объединение.
Частые ошибки
При знаке \(\le\) немесе \(\ge\) граница кіреді, поэтому точка закрашенная. При знаке \(<\) немесе \(>\) граница не кіреді, поэтому точка пустая.
Для \(x>a\) числа больше \(a\) находятся справа, а для \(x<a\) — слева. Не ориентируйтесь только на положение жазбалар: проверьте, какие числа подходят.
Бесконечность не является граничной точкой. Всегда используйте круглую скобку рядом с \(+\infty\) немесе \(-\infty\).
На прямой \(-5\) находится левее \(-2\), потому что \(-5<-2\). При жазбалар промежутка сначала ставьте меньшее число.
Связь с другими задачами
Для тапсырмалардың на промежутки важно уверенно находить координату числа и понимать расстояние между точками на прямой. Если границы выражены дробями или десятичными числами, сначала сравните их и при необходимости приведите к удобному виду. Для нескольких условий полезно знать порядок рациональных чисел.
Быстрая проверка
Главное
- Пустая точка означает, что граница не кіреді; закрашенная — что кіреді.
- Круглая скобка соответствует строгим знакам \(<\) и \(>\), квадратная — нестрогим \(\le\) и \(\ge\).
- Для промежутка между двумя границами выделяют часть прямой между точками; для одного ограничения — луч.
- В бесконечности всегда используется круглая скобка.
- Слово «и» обычно приводит к пересечению промежутков, а «или» — к объединению.