Порядок рациональных чисел
Порядок рациональных чисел определяет, какое число находится левее или правее другого на координатной прямой. В этом конспекте собраны правила для целых, обыкновенных и десятичных дробей, необходимые при решении заданий ege-1, ege-15 и oge-6.
Координатная прямая и порядок чисел
Координатная прямая — это прямая с началом отсчёта \(O\), положительным направлением и единичным отрезком. Каждой точке прямой соответствует единственное число — её координата, и каждому числу соответствует единственная точка.
Рациональными называются числа, которые можно представить в виде \(\frac{a}{b}\), где \(a\) — целое число, а \(b\) — натуральное число, \(b\ne0\). К ним относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные или периодические десятичные дроби. Подробнее см. рациональные числа.
Если точка \(A\) расположена левее точки \(B\) на координатной прямой, то координата точки \(A\) меньше координаты точки \(B\): \(a<b\). Если точка \(A\) расположена правее точки \(B\), то \(a>b\). Совпадение точек означает равенство чисел: \(a=b\).
Числа, расположенные слева от нуля, отрицательные; справа от нуля — положительные. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Поэтому любое отрицательное число меньше нуля, а ноль меньше любого положительного числа.
Сравнение целых и противоположных чисел
Для положительных целых чисел действует привычное правило: число с большей величиной больше. Для отрицательных чисел правило меняется: чем дальше число от нуля влево, тем оно меньше. Например, \(-8<-3\), хотя \(8>3\).
Чтобы сравнить два отрицательных числа, можно сравнить их модули и поставить знак наоборот: если \(|a|>|b|\), то \(a<b\). Например, \(|-7|>|-2|\), значит, \(-7<-2\).
Сравнение рациональных чисел удобно начинать с определения знаков. Если числа имеют разные знаки, отрицательное число всегда меньше положительного. Если знаки одинаковы, применяют правила для соответствующего вида чисел.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Разные знаки | Любое отрицательное число меньше любого положительного | \(-4<0,2\) |
| Оба положительные | Больше число, расположенное правее | \(5>2\) |
| Оба отрицательные | Меньше число с большим модулем | \(-9<-4\) |
| Одинаковые числа | Знаки равенства | \(-3=-3\) |
Какое неравенство верно?
Сравнение обыкновенных дробей
Перед сравнением дробей полезно определить их знаки и, если возможно, преобразовать их к общему знаменателю. Страницу о правильных и неправильных дробях стоит использовать, чтобы быстро оценить положение дроби относительно нуля и единицы.
Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой больше числитель: \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\), если \(a>b\) и \(c>0\).
Для положительных дробей с одинаковыми числителями больше дробь с меньшим знаменателем: \(\frac{a}{b}>\frac{a}{c}\), если \(0<b<c\) и \(a>0\).
Если знаменатели различны, дроби можно привести к общему знаменателю. Для положительных дробей также разрешено сравнение крест-накрест: при \(b>0\) и \(d>0\) сравнивают произведения \(ad\) и \(bc\).
Отрицательные дроби сравнивают с учётом знака: например, \(-\frac{3}{5}<-\frac{1}{2}\), потому что \(\frac{3}{5}>\frac{1}{2}\) и при добавлении минуса знак меняется.
Сравнение десятичных дробей
Конечные десятичные дроби удобно записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. Справа можно дописывать нули, не изменяя число: \(0,7=0,70=0,700\).
- Сначала сравните знаки чисел.
- Если числа положительные, сравните целые части.
- Если целые части равны, сравнивайте цифры после запятой слева направо.
- Для отрицательных чисел сначала сравните модули, а затем измените знак результата.
Расположим по возрастанию числа \(-1,2\), \(-\frac{5}{4}\), \(0\), \(1,15\).
Такой способ особенно удобен в заданиях, где требуется выбрать наименьшее или наибольшее число либо установить порядок нескольких значений. Если десятичная дробь бесконечная периодическая, её можно заменить дробью или сравнить с помощью оценки.
Модуль и расстояние от нуля
Модуль числа \(a\), обозначаемый \(|a|\), — это расстояние от точки с координатой \(a\) до начала отсчёта. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа неотрицателен.
Для противоположных чисел \(a\) и \(-a\) модули равны, но сами числа находятся по разные стороны от нуля. Не следует путать положение числа на прямой с его расстоянием от нуля: например, \(-6\) левее \(-2\), хотя \(|-6|>|-2|\).
1. Ошибка: считать, что \(-8>-3\), потому что \(8>3\). Верно: \(-8<-3\). 2. Ошибка: сравнивать цифры после запятой, не учитывая целую часть: \(2,1>1,99\). 3. Ошибка: забывать изменить знак при умножении неравенства на отрицательное число. 4. Ошибка: считать, что \(0,5<0,05\) из-за цифры 5; после выравнивания получаем \(0,50>0,05\). 5. Ошибка: путать модуль с самим отрицательным числом: \(|-4|=4\), а не \(-4\).
Запишите все числа в сопоставимом виде: целые — как целые, дроби — с общим знаменателем или в десятичном виде, десятичные — с одинаковым числом знаков. Отдельно отметьте знаки, затем сравните числа и проверьте результат по расположению на прямой.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- На координатной прямой левее расположены меньшие числа, правее — большие.
- Любое отрицательное число меньше нуля, а при сравнении отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.
- Дроби сравнивают по общему знаменателю или крест-накрест при положительных знаменателях.
- Десятичные дроби сравнивают по целой части и затем по цифрам после запятой; нули справа можно дописывать.
- Модуль показывает расстояние до нуля и не может быть отрицательным.