Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, при котором слагаемые с одинаковой буквенной частью объединяют в одно. Навык нужен для преобразования алгебраических выражений и подготовки к заданиям подобных слагаемых, а также к заданиям ОГЭ-7 и ЕГЭ-2.
Любое выражение состоит из чисел, букв, знаков действий и скобок. Перед началом упрощения полезно определить его структуру: какие части являются слагаемыми, какие — множителями, где находятся скобки и знаки «плюс» или «минус».
Что значит привести подобные слагаемые
Подобными слагаемыми называют слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Буквы должны быть одними и теми же и иметь одинаковые показатели степеней. Числовые множители при этом могут различаться.
Например, \(7x\) и \(-3x\) — подобные слагаемые: их буквенная часть — \(x\). Слагаемые \(4a^2b\) и \(-9a^2b\) также подобны. А выражения \(5x\) и \(5x^2\) не являются подобными, потому что показатели степени буквы \(x\) различаются. Слагаемые \(2ab\) и \(2ac\) тоже неподобны: в одном есть буква \(b\), а в другом — буква \(c\).
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить или вычесть их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения.
Число, умноженное на буквенную часть одночлена, называют коэффициентом. В слагаемом \(x\) коэффициент равен \(1\), а в слагаемом \(-x\) — \(-1\). Это важно учитывать, если перед буквой нет явно записанного числа.
Алгоритм приведения подобных слагаемых
- Раскрыть скобки, если они есть, используя правила раскрытия скобок и распределительный закон умножения.
- Привести каждый одночлен к удобному виду: определить его коэффициент и буквенную часть.
- Разделить слагаемые на группы с одинаковой буквенной частью.
- Сложить коэффициенты внутри каждой группы.
- Записать результат и проверить знаки, показатели степеней и порядок слагаемых.
Порядок слагаемых при сложении можно менять: от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Поэтому сначала удобно объединять самые заметные группы, например все слагаемые с \(x\), затем все слагаемые с \(y^2\), а свободные числа оставлять напоследок.
Подчёркивайте одинаковые буквенные части одним цветом или мысленно заключайте их в группы. Например, в выражении \(3a-5b+7a+2b\) отдельно объединяются слагаемые с \(a\) и с \(b\).
Разобранный пример
Упростим выражение \(4x-3y+7-9x+5y-2\).
Ответ: \(-5x+2y+5\). В нём нет двух слагаемых с одинаковой буквенной частью, поэтому дальнейшее приведение невозможно.
Рассмотрим выражение со степенями: \(6a^2b-4ab^2+3a^2b+9ab^2\). Здесь \(6a^2b\) и \(3a^2b\) подобны, а \(-4ab^2\) и \(9ab^2\) — другая группа. Получаем \(9a^2b+5ab^2\). Нельзя объединить \(a^2b\) и \(ab^2\): набор показателей степеней различен.
Какие слагаемые можно объединить в выражении \(2x^2-7x+5x^2+3\)?
Скобки, знаки и нулевые коэффициенты
Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри скобок сохраняются: \(+(3x-2y)=3x-2y\). Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых меняются: \(-(3x-2y)=-3x+2y\). После раскрытия скобок слагаемые можно объединять обычным способом.
Если коэффициенты противоположны, подобные слагаемые уничтожаются: \(8m-8m=0\). Если коэффициент равен нулю, всё слагаемое равно нулю: \(0\cdot x^3=0\). Нулевые слагаемые в окончательный ответ обычно не записывают.
1. Складывают неподобные слагаемые: \(2x+3y\ne5xy\) и не равно \(5x\).<br>2. Забывают коэффициент \(1\) или \(-1\): \(x+4x=5x\), а не \(4x\).<br>3. Меняют не все знаки после минуса перед скобками: \(-(a-b)=-a+b\).<br>4. Путают сложение и умножение: \(3x+2x=5x\), но \(3x\cdot2x=6x^2\).<br>5. Объединяют \(x^2\) и \(x\): это разные буквенные части.
Типовые задания и проверка ответа
В экзаменационных заданиях выражение может быть частью формулы, дроби или более длинной цепочки преобразований. Приведение подобных слагаемых выполняют после раскрытия скобок и приведения дробей к нужному виду, но до подстановки числовых значений, если это удобно.
| Выражение | Группы | Результат |
|---|---|---|
| \(3p+8p\) | \(p\) и \(p\) | \(11p\) |
| \(7t-10t\) | \(t\) и \(t\) | \(-3t\) |
| \(4x^2+2x-9x^2\) | \(x^2\) и \(x\) | \(-5x^2+2x\) |
| \(5a-2b+3-9a+7b\) | \(a\), \(b\), числа | \(-4a+5b+3\) |
Проверить результат можно подстановкой простого значения, например \(x=1\) или \(x=2\). Значение исходного и преобразованного выражений должно совпасть. Такая проверка не заменяет решение, но помогает обнаружить ошибку в знаке или коэффициенте.
Подобны только те слагаемые, у которых полностью совпадает буквенная часть. При приведении меняются только коэффициенты, а буквы и их показатели степеней сохраняются.
Приведение подобных слагаемых — один из видов тождественных преобразований выражений. После него часто получают стандартный вид многочлена, где слагаемые расположены по убыванию степеней. Понятие степени многочлена разбирается на следующей странице о степени многочлена.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с теми же показателями степеней.
- Чтобы их объединить, складывают коэффициенты и сохраняют буквенную часть.
- Перед приведением нужно раскрыть скобки и внимательно расставить знаки.
- Слагаемые с разными буквами или разными степенями объединять нельзя.
- Результат удобно проверять подстановкой простого значения переменной.