Числовые промежутки
Числовой промежуток — это множество всех чисел между двумя границами или правее либо левее одной границы. Промежутки используют, чтобы кратко записывать решения неравенств и отмечать их на числовой прямой.
Основные виды промежутков
| Название | Запись | Условие |
|---|---|---|
| Интервал | \((a; b)\) | \(a < x < b\) |
| Отрезок | \([a; b]\) | \(a \le x \le b\) |
| Полуинтервал | \([a; b)\) | \(a \le x < b\) |
| Полуинтервал | \((a; b]\) | \(a < x \le b\) |
| Луч | \((-\infty; b]\) | \(x \le b\) |
| Луч | \((a; +\infty)\) | \(x > a\) |
| Вся числовая прямая | \((-\infty; +\infty)\) | Все действительные числа |
В записи промежутка границы указывают слева направо: сначала меньшую, затем большую. Бесконечность не является числом, поэтому рядом с \(-\infty\) и \(+\infty\) всегда ставят круглую скобку.
Решение неравенства \(-2 \le x < 4\) записывают как промежуток \([-2; 4)\). Число \(-2\) входит в решение, поэтому используется квадратная скобка, а число \(4\) не входит — круглая.
Промежуток \((a; b)\) не включает концы, а отрезок \([a; b]\) включает оба конца. Запись \([a; b]\) — это не просто обозначение границ, а указание на принадлежность чисел \(a\) и \(b\) множеству.
Если решение состоит из нескольких частей, их записывают через знак объединения \(\cup\). Например, \(x < -1\) или \(x \ge 3\) имеет запись \((-\infty; -1) \cup [3; +\infty)\). О правилах объединения подробнее рассказывается на странице об объединении и пересечении промежутков.
Какой промежуток задаёт условие \(2 < x \le 7\)?
Главное
- Круглые скобки означают, что граница не входит; квадратные — что входит.
- Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой.
- Несколько промежутков соединяют знаком объединения \(\cup\).