Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю — это подготовка обыкновенных дробей к сложению, вычитанию или сравнению. Сначала находят общий знаменатель, затем домножают числители и знаменатели на подходящие множители и только после этого выполняют нужное действие.
Что значит привести дроби к общему знаменателю
У дробей с одинаковыми знаменателями знаменатели показывают, на сколько равных частей разделено целое. Поэтому такие дроби можно складывать и вычитать по числителям, сохраняя общий знаменатель. Например, \(\frac{3}{11}+\frac{5}{11}=\frac{8}{11}\).
Привести дроби к общему знаменателю — значит заменить каждую дробь равной ей дробью так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
При преобразовании используется основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Общий знаменатель можно выбрать любым общим кратным исходных знаменателей, но удобнее всего использовать их наименьшее общее кратное (НОК).
Если общий знаменатель равен \(M\), то дробь \(\frac{a}{b}\) нужно умножить числитель и знаменатель на число \(M:b\). Это возможно, когда \(M\) кратно \(b\).
Алгоритм приведения к общему знаменателю
- Разложите знаменатели на простые множители, если это помогает быстро найти НОК.
- Найдите общий знаменатель, обычно НОК знаменателей.
- Для каждой дроби вычислите дополнительный множитель: общий знаменатель разделите на исходный знаменатель.
- Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
- Запишите полученные равные дроби с одинаковым знаменателем.
Например, для дробей \(\frac{2}{15}\) и \(\frac{7}{18}\) знаменатели имеют общий множитель \(90\): \(15\cdot6=90\), \(18\cdot5=90\). Значит, дополнительные множители равны 6 и 5.
Какой дополнительный множитель нужен для дроби \(\frac{5}{12}\), если общий знаменатель равен \(60\)?
Сложение и вычитание дробей
После приведения дробей к общему знаменателю действия выполняют с числителями, а общий знаменатель оставляют без изменения. Полученную дробь при необходимости сокращают, то есть используют сокращение дробей. Если результат неправильная дробь, его можно представить в виде смешанного числа, если это требуется в условии.
Вычислим \(\frac{5}{12}-\frac{7}{18}\). Здесь знаменатели разные, поэтому сначала приводим дроби к общему знаменателю.
Знаки нужно учитывать до выполнения действия. Если перед дробью стоит минус, он относится ко всей дроби: \(-\frac{a}{b}\). При сложении и вычитании отрицательных дробей применяйте правила знаков при действиях.
Нельзя складывать знаменатели: \(\frac{1}{5}+\frac{2}{7}\ne\frac{3}{12}\). Правильно сначала получить общий знаменатель: \(\frac{1}{5}=\frac{7}{35}\) и \(\frac{2}{7}=\frac{10}{35}\), значит сумма равна \(\frac{17}{35}\).
Сравнение дробей
Если знаменатели дробей одинаковы и положительны, больше та дробь, у которой больше числитель. Если числители одинаковы и положительны, больше дробь с меньшим знаменателем. В остальных случаях удобно привести дроби к общему положительному знаменателю и сравнить числители.
Например, сравним \(\frac{7}{12}\) и \(\frac{5}{8}\). НОК чисел 12 и 8 равен 24: \(\frac{7}{12}=\frac{14}{24}\), а \(\frac{5}{8}=\frac{15}{24}\). Так как \(14<15\), то \(\frac{7}{12}<\frac{5}{8}\).
Две положительные дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) можно сравнить крест-накрест: сравнить произведения \(a\cdot d\) и \(c\cdot b\). Этот способ равносилен приведению к общему знаменателю \(b\cdot d\), но не всегда даёт наименьший общий знаменатель.
Для отрицательных дробей знак меняется при умножении неравенства на отрицательное число, поэтому сначала удобно разобраться со знаками, а затем сравнивать положительные части. Это связано с общим порядком рациональных чисел.
Как выбрать общий знаменатель быстрее
Если один знаменатель делится на другой, большим знаменателем уже можно пользоваться как общим. Например, для \(\frac{3}{14}\) и \(\frac{5}{28}\) общий знаменатель — 28: первую дробь домножают на 2, вторую оставляют без изменения.
Если знаменатели взаимно просты, их НОК равен произведению. Например, для 7 и 9 общий знаменатель равен \(63\). Если у знаменателей есть общие множители, произведение может быть избыточным: для 12 и 18 лучше взять 36, а не 216.
Дополнительный множитель относится сразу к числителю и знаменателю. После приведения проверьте: каждый новый знаменатель должен совпадать с выбранным общим знаменателем.
| Ситуация | Действие |
|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Сложить или вычесть числители. |
| Разные знаменатели | Найти общий знаменатель и привести дроби. |
| Результат можно сократить | Разделить числитель и знаменатель на общий делитель. |
| Нужно сравнить дроби | Привести к общему знаменателю или сравнить крест-накрест. |
| Встречаются смешанные числа | При необходимости перевести их в неправильные дроби. |
Проверка результата
После вычисления проверьте знак и примерный размер ответа. При сложении положительных дробей результат должен быть больше каждой из них, если сумма не превышает единицу — это можно оценить отдельно. При вычитании из большей положительной дроби меньшей результат положителен. Также проверьте, не осталось ли сокращение.
- Общий знаменатель кратен каждому исходному знаменателю.
- Каждая дробь умножена на правильный дополнительный множитель.
- Знаменатель не складывался и не вычитался.
- Числитель результата посчитан с учётом знаков.
- Итоговая дробь сокращена, если это возможно.
Быстрый тест
Главное
- Общий знаменатель обычно выбирают равным НОК исходных знаменателей.
- Дополнительный множитель равен отношению общего знаменателя к исходному.
- При сложении и вычитании общих дробей действуют только с числителями, знаменатель сохраняют.
- Для сравнения дробей можно привести их к общему знаменателю или сравнить крест-накрест при положительных знаменателях.
- После вычислений проверьте знаки, сократите дробь и при необходимости выделите целую часть.