Решение: Равновесие стержня на пружинах
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень массой $M = 2\ \text{кг}$ и длиной $L = 40\ \text{см}$. Если к этому стержню подвесить груз на расстоянии $d = 5\ \text{см}$ от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы. Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса $m$ подвешенного груза? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи.
Решение по шагам
6 шаговНа стержень действуют силы упругости пружин $F_1$ и $F_2$, вес стержня $Mg$ и вес груза $mg$. Так как растяжения пружин одинаковы, а жёсткость правой пружины в 3 раза больше жёсткости левой, то $F_2 = 3F_1$.
$$F_1 = k_1\Delta l,\quad F_2 = k_2\Delta l = 3F_1$$Условие равновесия по вертикали даёт:
$$F_1 + F_2 = (M+m)g,\quad 4F_1=(M+m)g$$Запишем равенство моментов относительно точки подвеса левой пружины. Правый конец стержня находится на расстоянии $L$, центр масс стержня — на расстоянии $L/2$, а груз — на расстоянии $L-d$ от левой пружины.
$$F_2L=Mg\frac{L}{2}+mg(L-d)$$Подставим $F_2=3F_1$ и $F_1=(M+m)g/4$:
$$3\frac{(M+m)g}{4}L=Mg\frac{L}{2}+mg(L-d)$$После сокращения на $g$ и подстановки $d/L=5/40=1/8$ получаем:
$$\frac{3}{4}(M+m)=\frac{1}{2}M+\frac{7}{8}m$$Решая уравнение, получаем $m=2M$. При $M=2\ \text{кг}$:
$$m=2\cdot2\ \text{кг}=4\ \text{кг}$$Масса груза: $m = 4\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считают плечо силы тяжести груза: оно равно $L-d$, а не $d$.
Забывают, что одинаковые растяжения при разных жёсткостях дают разные силы упругости.
Берут плечо силы тяжести однородного стержня равным $L$, а не $L/2$.
Не указывают на рисунке силы упругости пружин, веса стержня и веса груза.