Решение: Сила давления палочки на стенку
В гладкий высокий стакан радиусом $4\ \text{см}$ поставили однородную тонкую палочку длиной $10\ \text{см}$ и массой $0{,}9\ \text{г}$, после чего в стакан налили до высоты $h=4\ \text{см}$ жидкость, плотность которой составляет $0{,}75$ плотности материала палочки. Найдите силу $F$, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку.
Решение по шагам
5 шаговНа палочку действуют сила тяжести $mg$, приложенная в её середине, сила Архимеда $F_A$, приложенная в середине погружённой части, и горизонтальная сила реакции стенки $F$, приложенная к верхнему концу. Сила давления палочки на стенку равна по модулю этой реакции.
Из геометрии вертикальная проекция всей палочки равна $y=\sqrt{L^2-R^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{84}\ \text{см}$. Длина погружённой части: $l=h\dfrac{L}{y}$.
Так как объём палочки пропорционален её длине, отношение силы Архимеда к силе тяжести равно $\dfrac{F_A}{mg}=\dfrac{\rho_\text{ж}}{\rho_\text{п}}\dfrac{l}{L}=0{,}75\dfrac{h}{y}$.
Запишем правило моментов относительно нижнего конца палочки. Горизонтальные плечи вертикальных сил пропорциональны расстояниям от нижнего конца вдоль палочки, поэтому $F y=mg\dfrac{R}{2}-F_A\dfrac{Rl}{2L}$.
Подставляя $l/L=h/y$, получаем $F=\dfrac{mgR}{2y}\left(1-0{,}75\dfrac{h^2}{y^2}\right)$. При $m=0{,}0009\ \text{кг}$, $g\approx10\ \text{м/с}^2$, $R=0{,}04\ \text{м}$, $h=0{,}04\ \text{м}$ и $y=\sqrt{84}\ \text{см}$ находим $F\approx0{,}0168\ \text{Н}$.
Сила, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана, равна примерно $0{,}017\ \text{Н}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать силу Архимеда.
Принимать силу Архимеда приложенной в центре всей палочки, а не в центре погружённой части.
Использовать в качестве плеча силы тяжести длину палочки вместо горизонтальной проекции расстояния до точки приложения.
Забыть, что сила давления палочки на стенку по третьему закону Ньютона равна по модулю силе реакции стенки.