Решение: Движение бруска и доски
На горизонтальном неподвижном столе лежит доска. На доске находится маленький брусок массой $m = 200\ \text{г}$ (см. рисунок). Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны и параллельны друг другу). Коэффициент трения между бруском и доской $\mu_1 = 0{,}5$, между столом и доской $\mu_2 = 0{,}3$. Доску тянут вправо с постоянной горизонтальной силой, модуль которой $F = 6\ \text{Н}$. Чему равна масса доски $M$, если модуль ускорения бруска относительно стола $a = 1\ \text{м/с}^2$? Трением в оси блока и сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговТак как нить нерастяжима, а её концы связаны с бруском и доской, при движении доски вправо брусок движется влево. Модули ускорений тел относительно стола одинаковы и равны $a = 1\ \text{м/с}^2$.
$$a_M = a,\qquad a_m = -a$$Брусок скользит по доске, поскольку его ускорение направлено противоположно ускорению доски. Поэтому сила трения между бруском и доской имеет максимальное значение и направлена на брусок вправо.
$$f_1 = \mu_1 m g = 0{,}5 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 1\ \text{Н}$$На брусок действуют сила натяжения нити $T$ влево и сила трения $f_1$ вправо. По второму закону Ньютона:
$$T - f_1 = ma$$На доску действуют сила $F$ вправо, силы натяжения нити и трения со стороны бруска влево, а также сила трения со стороны стола влево. Сила трения доски о стол равна $f_2 = \mu_2(M+m)g$.
$$F - T - f_1 - \mu_2(M+m)g = Ma$$Из уравнения для бруска находим натяжение нити:
$$T = ma + f_1 = 0{,}2 \cdot 1 + 1 = 1{,}2\ \text{Н}$$Подставляем найденные значения в уравнение движения доски и учитываем, что $m = 0{,}2\ \text{кг}$:
$$6 - 1{,}2 - 1 - 0{,}3(M+0{,}2)\cdot 10 = M$$Решаем уравнение относительно массы доски:
$$3{,}8 - 3M - 0{,}6 = M,\qquad 4M = 3{,}2,\qquad M = 0{,}8\ \text{кг}$$Законы Ньютона применимы в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом, поэтому натяжение нити одинаково на обоих участках, а ускорения тел связаны условием нерастяжимости. Силы трения определяются законами сухого скольжения.
Масса доски $M = 0{,}8\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать ускорения бруска и доски направленными в одну сторону.
Не учитывать силу трения между бруском и доской в уравнении движения доски.
Использовать в силе трения о стол только массу доски, не учитывая давление бруска.
Забыть, что при скольжении сила трения между бруском и доской равна $\mu_1mg$.