Шешімі: Равновесие наклонного стержня
Тонкий однородный стержень $AB$ шарнирно закреплён в точке $A$ и удерживается горизонтальной нитью $BC$ (см. рисунок). Трение в шарнире пренебрежимо мало. Масса стержня $m = 1\ \text{кг}$, угол его наклона к горизонту $\alpha = 45^\circ$. Найдите модуль силы $\vec F$, действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
Шешім по шагам
6 қадамНа стержень действуют сила тяжести $mg$, приложенная в его середине, сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально влево, и сила реакции шарнира $\vec F$ с компонентами $F_x$ и $F_y$.
Запишем условие равенства моментов относительно шарнира $A$. Плечо силы натяжения равно $L\sin\alpha$, а плечо силы тяжести равно $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$.
$$T L\sin\alpha = mg\frac{L}{2}\cos\alpha$$Отсюда найдём силу натяжения нити. При $\alpha = 45^\circ$ имеем $\cot\alpha = 1$.
$$T = \frac{mg}{2}\cot\alpha = \frac{mg}{2}$$Из равновесия по горизонтали и вертикали следуют компоненты силы реакции шарнира.
$$F_x = T = \frac{mg}{2},\qquad F_y = mg$$Модуль силы реакции шарнира равен корню из суммы квадратов её компонент.
$$F = \sqrt{F_x^2+F_y^2}=mg\sqrt{\frac14+1}=\frac{mg\sqrt5}{2}$$Подставим $m = 1\ \text{кг}$ и $g = 10\ \text{Н/кг}$.
$$F = \frac{1\cdot 10\sqrt5}{2}=5\sqrt5\ \text{Н}\approx 11{,}2\ \text{Н}$$Модуль силы со стороны шарнира: $F = 5\sqrt5\ \text{Н} \approx 11{,}2\ \text{Н}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Прикладывают силу тяжести к концу стержня вместо его середины.
Қате определяют плечо силы натяжения нити.
Не учитывают горизонтальную и вертикальную составляющие реакции шарнира.
Путают силу натяжения нити с полной силой реакции шарнира.