Решение: Прямоугольник и перпендикуляр
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = 30^\circ$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC = 9$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим прямоугольник в координатной плоскости: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$, где $b=BC=9$. Диагональ $AC$ имеет угловой коэффициент $b/a$, поэтому прямая через $B$, перпендикулярная $AC$, имеет уравнение $y=-\dfrac{a}{b}(x-a)$.
Точка пересечения этой прямой со стороной $AD$ имеет координаты $M\left(0,\dfrac{a^2}{b}\right)$.
Используем условие $MB=MD$: $a^2+\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^2=\left(\dfrac{a^2}{b}-b\right)^2$. После упрощения получаем $b^2=3a^2$.
Так как $b=9$, имеем $a=\dfrac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$. Тогда $\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{27}{9}=3$, но при вычислении через условие перпендикулярности следует проверить расположение: при выбранной системе координат условие $MB=MD$ даёт $\dfrac{a^2}{b}=b$, то есть $M=D$. Следовательно, исходная формулировка пункта а) противоречива.
При $M=D$ угол $\angle DBC$ действительно равен $30^\circ$, поскольку $\tan\angle DBC=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Однако $\angle ABM=\angle ABD=60^\circ$, а не $30^\circ$.
Центр прямоугольника имеет координаты $O\left(\dfrac a2,\dfrac b2\right)$, а прямая $CM$ совпадает с прямой $CD$. Поэтому расстояние от $O$ до $CM$ равно половине ширины прямоугольника: $\dfrac a2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
При буквальном чтении условия пункт а) неверен: $\angle ABM=60^\circ$, $\angle DBC=30^\circ$. Расстояние в пункте б): $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Механически принимать утверждение пункта а) за верное, не проверяя его координатами.
Путать углы, образованные диагональю $BD$ с горизонтальной и вертикальной сторонами.
Забывать, что при полученных условиях точка $M$ совпадает с вершиной $D$.