19
Система с параметром и четыре решения
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 19 · Уравнения с параметрами
ВысокаяФИПИE156E1Развёрнутое решение≈ 15 минут
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
x^4-y^4=12a-28,\\
x^2+y^2=a
\end{cases}
$$
имеет ровно четыре различных решения.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
Дайте развернутый ответ.
| Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения.
| ||
| |
Ответ
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор!
3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как выразить $x^4-y^4$ через $x^2+y^2$ и $x^2-y^2$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $u=x^2$, $v=y^2$. При $a>0$ из системы получаются единственные значения $u$ и $v$, а четыре решения возникают тогда, когда $u>0$ и $v>0$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите $u=\dfrac{a+12-28/a}{2}$ и $v=\dfrac{a-12+28/a}{2}$, затем решите неравенства $u>0$ и $v>0$ при $a>0$.
Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.
Открыть решение