Решение: Система с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
8 шаговИз второго уравнения системы получаем
$$4|y|=-x^2-8x=16-(x+4)^2$$Следовательно, $x\in[-8;0]$. Введём замену $t=x+4$, $b=a+4$. Тогда $t\in[-4;4]$, а система принимает вид
$$y=|t-b|-4,\qquad |y|=4-\frac{t^2}{4}$$Второе уравнение задаёт верхнюю и нижнюю дуги:
$$y=4-\frac{t^2}{4}\quad\text{или}\quad y=-4+\frac{t^2}{4}$$Для пересечения с верхней дугой получаем
$$|t-b|-4=4-\frac{t^2}{4}\iff b=t-8+\frac{t^2}{4}\ \text{или}\ b=t+8-\frac{t^2}{4}$$Для пересечения с нижней дугой получаем
$$|t-b|-4=-4+\frac{t^2}{4}\iff b=t-\frac{t^2}{4}\ \text{или}\ b=t+\frac{t^2}{4}$$Рассмотрим количество корней этих уравнений при $t\in[-4;4]$. Для верхней дуги ровно один корень имеется при $-8<b<0$ и при $0<b<4$, а два корня — при $-9<b<-8$ и при $4<b<9$. Для нижней дуги три корня имеются при $-1<b<1$, за исключением граничных особенностей.
Четыре различных решения получаются только тогда, когда один корень соответствует верхней дуге, а три — нижней дуге. Это происходит при
$$-1<b<0$$Возвращаясь к параметру $a$, получаем
$$-1<a+4<0\iff -5<a<-4$$$a\in(-5;-4)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $t\in[-4;4]$, вытекающее из второго уравнения.
Считать совпадающие точки на концах дуг двумя различными решениями.
Забыть, что $b=a+4$, и записать ответ для вспомогательного параметра $b$ вместо $a$.