Решение: Диагонали вписанного пятиугольника
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.
а) Докажите, что $AC = CE$.
б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.
Решение по шагам
7 шаговТак как равные хорды стягивают равные дуги, из равенства $AB = CD$ следует равенство дуг $\widehat{AB} = \widehat{CD}$, а из равенства $BC = DE$ — равенство дуг $\widehat{BC} = \widehat{DE}$.
Складывая равные дуги, получаем $\widehat{AB} + \widehat{BC} = \widehat{CD} + \widehat{DE}$. Следовательно, равны хорды, стягивающие эти дуги: $AC = CE$.
Применим теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику $ABCD$:
$$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$$Подставим известные значения:
$$AC \cdot BD = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 33$$Применим теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику $BCDE$:
$$BD \cdot CE + BC \cdot DE = CD \cdot BE$$Так как $CE = AC$, произведение $BD \cdot CE$ равно $BD \cdot AC = 33$. Поэтому:
$$33 + 4 \cdot 4 = 3 \cdot BE$$Отсюда длина диагонали:
$$BE = \dfrac{33 + 16}{3} = \dfrac{49}{3}$$$AC = CE$; $BE = \dfrac{49}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Применяют теорему Птолемея к невписанному или неверно составленному четырёхугольнику.
Забывают, что равенство хорд означает равенство соответствующих дуг.
В формуле Птолемея для четырёхугольника $BCDE$ неверно сопоставляют стороны и диагонали.