Шешімі: Окружность в равнобедренном треугольнике
Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.
Докажите, что $\angle AOC = 90^\circ$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BO = 7$ и $AC = 16$.
Шешім по шагам
8 қадамТак как $AB=BC$, треугольник симметричен относительно высоты из вершины $B$. Центр окружности, касающейся двух боковых сторон $AB$ и $BC$, лежит на биссектрисе угла $B$, то есть на оси симметрии треугольника.
Введём координаты: $A(-8,0)$, $C(8,0)$, $B(0,h)$, а $O(0,y)$. Здесь $AC=16$.
Уравнение прямой $AB$ имеет вид $hx-8y+8h=0$, поэтому расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $\dfrac{8(h-y)}{\sqrt{h^2+64}}$.
Высота $CH$ перпендикулярна $AB$ и проходит через точку $C$. Её уравнение: $8x+hy-64=0$. Расстояние от точки $O$ до прямой $CH$ равно $\dfrac{|hy-64|}{\sqrt{h^2+64}}$.
Окружность касается обеих прямых, поэтому расстояния равны. Из равенства $\dfrac{8(h-y)}{\sqrt{h^2+64}}=\dfrac{|hy-64|}{\sqrt{h^2+64}}$ получаем $y=8$.
Теперь $\overrightarrow{OA}=(-8,-8)$ и $\overrightarrow{OC}=(8,-8)$. Их скалярное произведение равно $(-8)\cdot 8+(-8)\cdot(-8)=0$. Следовательно, $\angle AOC=90^\circ$.
Так как $BO=7$, а $B(0,h)$ и $O(0,8)$, имеем $h-8=7$, откуда $h=15$.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BH=\dfrac12\cdot16\cdot15=120$.
а) $\angle AOC=90^\circ$; б) $S_{ABC}=120$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что центр окружности находится в точке пересечения высот треугольника.
Использовать расстояние до стороны $CH$ вместо расстояния до прямой $CH$.
Забыть, что высота $BH$ равна $BO+OH=7+8=15$.
Вычислить площадь без деления произведения основания и высоты на 2.