Шешімі: Уравнение с параметром и логарифмом
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x+2a}\cdot\ln(x-a)=(x-1)\cdot\ln(x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Шешімін қадамдап көрсету
7 қадамОбласть определения уравнения задаётся условиями $x-a>0$ и $x+2a\ge 0$. Перенесём всё в одну часть и разложим на множители:
$$\ln(x-a)\left(\sqrt{x+2a}-x+1\right)=0$$Рассмотрим первый множитель:
$$\ln(x-a)=0\Rightarrow x-a=1\Rightarrow x=a+1$$Чтобы этот корень принадлежал отрезку $[0;1]$, необходимо и достаточно, чтобы $0\le a+1\le1$. Следовательно, $-1\le a\le0$.
Рассмотрим второй множитель:
$$\sqrt{x+2a}=x-1$$На отрезке $[0;1]$ правая часть $x-1$ не положительна, а левая часть неотрицательна. Поэтому равенство возможно только при одновременном выполнении условий $x-1=0$ и $x+2a=0$.
$$x=1,\qquad a=-\frac12$$При $a=-\frac12$ первый случай также даёт корень $x=a+1=\frac12$. Значит, при этом значении параметра уравнение имеет два корня: $x=\frac12$ и $x=1$, поэтому $a=-\frac12$ исключается.
Для остальных значений $a$ из отрезка $[-1;0]$ имеется ровно один корень $x=a+1$, а второй множитель корней на отрезке не даёт.
a\in[-1;0]\setminus\left\{-\frac12\right\}
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что из условия $\ln(x-a)=0$ следует $x=a$ вместо $x=a+1$.
Не учитывать, что при $a=-\frac12$ появляются два корня.
Не проверять область определения логарифма и корень второго множителя.