Шешімі: Сечение правильной пирамиды
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN = 3NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL : LC$.
Шешім по шагам
8 қадамВыберем начало координат в точке $S$, а векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SC}$ примем за базисные. Тогда вершинам соответствуют координаты $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$.
Так как $AN=3NS$, то $SN:SA=1:4$, поэтому $N=\left(\frac14,0,0\right)$. Также $M=\left(\frac12,\frac12,0\right)$ и $K=\left(0,0,\frac12\right)$. Обозначим $t=\frac{BL}{BC}$. Тогда $L=(0,1-t,t)$.
$$BL:LC=t:(1-t)$$Поскольку отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, точки $M$, $K$, $N$, $L$ лежат в одной плоскости. Следовательно, смешанное произведение трёх направляющих векторов равно нулю.
$$\det\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac12&\frac12\\-\frac14&-\frac12&0\\-\frac14&1-t&t\end{pmatrix}=0$$Вычисление определителя даёт уравнение для параметра $t$.
$$8t-6=0,\qquad t=\frac34$$Следовательно, отношение частей ребра $BC$ равно
$$BL:LC=t:(1-t)=\frac34:\frac14=3:1$$Докажем пункт а). Прямая $MN$ лежит в плоскости $SAB$. Её уравнение в параметрическом виде имеет вид $X=N+u(M-N)$. При $u=-1$ получаем точку $P=(0,-\frac12,0)$, лежащую на прямой $SB$.
$$P=N-(M-N)=2N-M=\left(0,-\frac12,0\right)$$Проверим, что эта же точка лежит на прямой $KL$. При $t=\frac34$ имеем $L=(0,\frac14,\frac34)$. Прямая $KL$ проходит через точки $K=(0,0,\frac12)$ и $L$, и при продолжении до параметра $u=-2$ даёт точку $P=(0,-\frac12,0)$.
$$P=K-2(L-K)=\left(0,-\frac12,0\right)$$Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно прямым $MN$, $KL$ и $SB$. Следовательно, эти три прямые пересекаются в одной точке.
а) Прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в точке $P$. б) $BL:LC=3:1$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате использовать условие $AN=3NS$: из него следует $SN:SA=1:4$, а не $SN:SA=3:4$.
Забывать, что условие пересечения $MK$ и $NL$ означает компланарность точек $M$, $K$, $N$, $L$.
Получить параметр $t=\frac34$, но перепутать отношения $BL:LC$ и $LC:BL$.
Проверять принадлежность точке прямой $SB$ только отрезку $SB$ и не учитывать, что речь идёт о прямых.