Решение: Окружность девяти точек треугольника
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120^\circ$, $\angle BCA = 15^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон треугольника $ABC$, треугольник $A_1B_1C_1$ является средним треугольником. Его стороны параллельны сторонам треугольника $ABC$ и равны половинам соответствующих сторон.
По теореме о девяти точках окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, проходит также через основания его высот. Точка $H$ является основанием высоты $AH$, поэтому точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
Вычислим угол $B$:
$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$$По теореме синусов в треугольнике $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin 45^\circ}=\frac{BC}{\sin 120^\circ},\qquad AC=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ}=4\sqrt{2}$$В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $C$ равен $15^\circ$, поэтому:
$$CH=AC\cos15^\circ=4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=2\sqrt3+2$$Так как $A_1$ — середина отрезка $BC$, имеем $A_1C=\dfrac{BC}{2}=2\sqrt3$. Следовательно:
$$A_1H=CH-A_1C=(2\sqrt3+2)-2\sqrt3=2$$Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности; $A_1H=2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют угол $B$, забывая, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Используют в теореме синусов не ту сторону, которая лежит напротив соответствующего угла.
Путают $CH$ с $A_1H$ и не учитывают, что $A_1$ — середина $BC$.
Доказывают принадлежность точек окружности только для трёх точек, не обосновывая принадлежность точки $H$.