Решение: Диагонали трапеции
Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Решение по шагам
8 шаговПусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причём $a+b=10$. Обозначим её диагонали векторами $\vec d_1$ и $\vec d_2$, выходящими из одной вершины.
$$a+b=10$$Для трапеции справедливо векторное равенство, связывающее диагонали и основания:
$$|\vec d_1|^2+|\vec d_2|^2=(a+b)^2+2\vec d_1\cdot\vec d_2$$Подставим длины диагоналей и сумму оснований:
$$6^2+8^2=10^2+2\vec d_1\cdot\vec d_2$$Так как $36+64=100$, получаем:
$$100=100+2\vec d_1\cdot\vec d_2,\qquad \vec d_1\cdot\vec d_2=0$$Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если они перпендикулярны. Следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны.
$$\vec d_1\perp\vec d_2$$Площадь выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения их длин:
$$S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24$$С другой стороны, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту:
$$S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{10h}{2}=5h$$Приравнивая два выражения для площади, найдём высоту:
$$5h=24,\qquad h=\frac{24}{5}$$Диагонали трапеции перпендикулярны, высота трапеции равна $\dfrac{24}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать формулу площади четырёхугольника через диагонали без доказательства их перпендикулярности.
Забыть, что в формуле площади трапеции используется полусумма оснований.
Сделать вывод о перпендикулярности диагоналей только из равенства $6^2+8^2=10^2$, не связав его с геометрией трапеции.