Шешімі: Точки на сторонах треугольника
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.
Шешім по шагам
12 қадамИз заданных отношений деления сторон получаем радиус-векторы точек:
$$\vec{C_1}=\frac{10\vec A+21\vec B}{31},\quad \vec{A_1}=\frac{3\vec B+2\vec C}{5},\quad \vec{B_1}=\frac{5\vec A+2\vec C}{7}$$Точка $D$ лежит на прямых $BB_1$ и $CC_1$. Запишем её координаты на этих прямых:
$$\vec D=\vec B+t(\vec{B_1}-\vec B)=\left(\frac{5t}{7},1-t,\frac{2t}{7}\right)$$Также точка $D$ лежит на $CC_1$:
$$\vec D=\vec C+s(\vec{C_1}-\vec C)=\left(\frac{10s}{31},\frac{21s}{31},1-s\right)$$Приравнивая координаты, получаем $t=\frac25$, $s=\frac{31}{35}$, поэтому:
$$\vec D=\frac{10\vec A+21\vec B+4\vec C}{35}$$Проверим противоположные стороны четырёхугольника:
$$\overrightarrow{AD}=\vec D-\vec A=\frac{-25\vec A+21\vec B+4\vec C}{35}=\vec{A_1}-\vec{B_1}=\overrightarrow{B_1A_1}$$Кроме того:
$$\overrightarrow{DA_1}=\vec{A_1}-\vec D=\frac{2}{7}(\vec C-\vec A)=\vec{B_1}-\vec A=\overrightarrow{AB_1}$$Следовательно, обе пары противоположных сторон равны и параллельны, поэтому $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
Для вычисления $CD$ введём векторы $\vec x=\overrightarrow{CA}$ и $\vec y=\overrightarrow{CB}$. Тогда $|\vec x|=63$, $|\vec y|=25$, а из формулы для $D$:
$$\overrightarrow{CD}=\frac{10\vec x+21\vec y}{35}$$Условие $AD\perp BC$ даёт:
$$\left(\frac{-25\vec x+21\vec y}{35}\right)\cdot\vec y=0$$Отсюда находим скалярное произведение:
$$-25(\vec x\cdot\vec y)+21|\vec y|^2=0,\quad \vec x\cdot\vec y=\frac{21\cdot25^2}{25}=525$$Вычислим квадрат длины $CD$:
$$CD^2=\frac{100|\vec x|^2+441|\vec y|^2+420(\vec x\cdot\vec y)}{35^2}=\frac{100\cdot63^2+441\cdot25^2+420\cdot525}{35^2}=729$$Следовательно, $CD=27$.
Четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм; $CD=27$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате переводят отношения деления сторон в радиус-векторы точек.
Приравнивают координаты точек $D$ на прямых $BB_1$ и $CC_1$ с ошибкой в параметрах.
Забывают, что условие перпендикулярности задаётся равенством скалярного произведения нулю.
Теряют множитель $2$ в смешанном члене при возведении суммы вектора в квадрат.