Решение: Уравнение с синусом
Решите уравнение $\dfrac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$. Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{13\pi}{2};-5\pi\right]$.
Решение по шагам
8 шаговЗнаменатель должен быть определён и не равен нулю. Поэтому $7\sin x>0$, то есть $\sin x>0$.
$$\sin x>0$$Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:
$$4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0$$Представим первое слагаемое в виде степени с основанием $2$:
$$2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}$$Так как показательная функция с основанием $2$ строго возрастает, равны показатели:
$$2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x$$Используя формулу двойного угла, получаем:
$$2\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin x$$По области допустимых значений $\sin x\ne0$, поэтому можно сократить на $\sin x$:
$$2\cos x=\sqrt{3},\quad \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$Общее решение уравнения с учётом условия $\sin x>0$ имеет вид:
$$x=2\pi k+\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}$$Проверим принадлежность отрезку $\left[-\dfrac{13\pi}{2};-5\pi\right]$. При $k=-3$ получаем $x=-6\pi+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{35\pi}{6}$, что принадлежит заданному отрезку. Другие целые значения $k$ не подходят.
$$-\frac{13\pi}{2}\le -\frac{35\pi}{6}\le -5\pi$$Общее решение: $x=2\pi k+\dfrac{\pi}{6}$, $k\in\mathbb{Z}$; на отрезке $\left[-\dfrac{13\pi}{2};-5\pi\right]$: $x=-\dfrac{35\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают область допустимых значений и допускают значения, при которых $\sin x\le0$.
Теряют множитель $\sin x$ при переходе от $\sin 2x=\sqrt{3}\sin x$ к уравнению с косинусом.
Неверно определяют целое значение параметра $k$ на заданном отрезке.