Касательная окружность треугольника
Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы — в точке $K$. Отрезок $EH$ — перпендикуляр к прямой $MK$.
а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.
б) Найдите отношение $CH:EK$, если $AC=12$ и $BC=5$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность с центром касается катетов и прямоугольного треугольника в точках и соответственно, а его гипотенузы а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите отношение если и | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Для доказательства удобно ввести координаты: расположите $C$ в начале координат, а катеты $CA$ и $CB$ — на координатных осях.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Радиус вписанной окружности равен $r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}$. Найдите координаты точек $M$, $E$ и центра $O$, затем используйте условие $EH\perp MK$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $AC=12$, $BC=5$ можно взять $C=(0,0)$, $A=(12,0)$, $B=(0,5)$. Тогда $M=(2,0)$, $E=(0,2)$, $K=\left(\dfrac{36}{13},\dfrac{50}{13}\right)$, $H=\left(\dfrac{30}{13},\dfrac{20}{13}\right)$.