Решение: Тригонометрическое уравнение с квадратом синуса
Решите уравнение $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем синус суммы и учтём значения синуса и косинуса угла $\dfrac{\pi}{4}$.
$$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$$Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим $\cos x$.
$$2\sin^2 x+\sin x+\cos x=\cos x\quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2 x+\sin x=0$$Разложим левую часть на множители.
$$\sin x(2\sin x+1)=0$$Решим первое уравнение.
$$\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Решим второе уравнение.
$$\sin x=-\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\ \text{или}\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$На отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ из первого семейства получаем $x=-2\pi$ и $x=-\pi$. Из второго семейства подходит только $x=-\dfrac{5\pi}{6}$.
$$x\in\left\{-2\pi,-\pi,-\dfrac{5\pi}{6}\right\}$$Общее решение: $x=\pi n$ или $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, или $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$: $x=-2\pi,\ -\pi,\ -\dfrac{5\pi}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают синус суммы.
Теряют корни при переходе от произведения к совокупности уравнений.
Не проверяют все семейства корней на принадлежность заданному отрезку.