Шешімі: Оптимальный год продажи бумаг
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?
Шешім по шагам
7 қадамЕсли ценные бумаги продаются в конце $k$-го года, то к концу 25-го года сумма на счёте составит
$$S_k=k^2(1+r)^{25-k}$$Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:
$$\frac{S_{k+1}}{S_k}=\frac{(k+1)^2(1+r)^{24-k}}{k^2(1+r)^{25-k}}=\frac{(k+1)^2}{k^2(1+r)}$$Чтобы $S_{21}$ было строго больше предыдущего значения, необходимо $S_{21}>S_{20}$:
$$\frac{S_{21}}{S_{20}}=\frac{21^2}{20^2(1+r)}>1$$Из этого неравенства получаем верхнюю границу для $r$:
$$1+r<\left(\frac{21}{20}\right)^2=\frac{441}{400},\qquad r<\frac{41}{400}$$Чтобы после 21-го года сумма начала уменьшаться, необходимо $S_{22}<S_{21}$:
$$\frac{S_{22}}{S_{21}}=\frac{22^2}{21^2(1+r)}<1$$Из этого неравенства получаем нижнюю границу для $r$:
$$1+r>\left(\frac{22}{21}\right)^2=\frac{484}{441},\qquad r>\frac{43}{441}$$При выполнении этих двух строгих неравенств последовательность $S_k$ возрастает до $k=21$, а затем убывает, поэтому максимум достигается строго при продаже в конце 21-го года.
$\dfrac{43}{441}<r<\dfrac{41}{400}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сравнивают только стоимости ценных бумаг и не учитывают банковское начисление.
Используют нестрогие неравенства, хотя максимум должен достигаться строго в 21-й год.
Перепутывают число начислений процентов: при продаже в конце $k$-го года множитель равен $(1+r)^{25-k}$.