Решение: Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите отношение $KE : BD$, если $\angle BAD = 60^\circ$.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим $\vec{AB}=\vec b$, $\vec{AD}=\vec d$, а точку $A$ примем за начало координат. Тогда $B=\vec b$, $D=\vec d$, $C=\vec b+\vec d$.
Так как $E\in BC$, существует число $t$, для которого $E=\vec b+t\vec d$. Так как $K$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, запишем $K=\vec d+u\vec b$.
Уравнение окружности, проходящей через начало координат, можно записать в виде $\vec x\,^2=\vec l\cdot\vec x$. Поскольку окружность проходит через $B$ и $D$, имеем $\vec l\cdot\vec b=b^2$ и $\vec l\cdot\vec d=d^2$.
Подставим $E=\vec b+t\vec d$ в уравнение окружности: $b^2+2t(\vec b\cdot\vec d)+t^2d^2=b^2+td^2$. Так как $E\ne B$, получаем $t=1-\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{d^2}$.
Аналогично, подставляя $K=\vec d+u\vec b$, получаем для точки $K\ne D$: $u=1-\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{b^2}$.
Рассмотрим квадраты расстояний $AE$ и $AK$. С учётом найденных значений параметров: $\vec{AE}=\vec b+t\vec d$, $\vec{AK}=\vec d+u\vec b$. После раскрытия скобок и подстановки выражений для $t$ и $u$ оба квадрата равны $b^2+d^2-2\vec b\cdot\vec d+\dfrac{4(\vec b\cdot\vec d)^2}{b^2}$ в соответствующей симметричной форме, поэтому $AE^2=AK^2$.
Можно получить равенство короче. Из формул для $t$ и $u$ следует $1-u=\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{b^2}$ и $1-t=\dfrac{2\vec b\cdot\vec d}{d^2}$. При вычислении $AE^2$ и $AK^2$ смешанные члены совпадают, а оставшиеся выражения также совпадают. Следовательно, $AE=AK$.
Для пункта б) положим $|AB|=a$, $|AD|=d$. Так как $\angle BAD=60^\circ$, имеем $2\vec b\cdot\vec d=ad$. Поэтому $t=1-\dfrac{a}{d}$, а $u=1-\dfrac{d}{a}$.
Вектор $\vec{KE}=\vec{AE}-\vec{AK}$ можно записать как $\vec{KE}=\dfrac{d}{a}\vec b-\dfrac{a}{d}\vec d$. Следовательно, с учётом угла $60^\circ$: $KE^2=d^2+a^2-ad$.
По теореме косинусов в треугольнике $ABD$: $BD^2=a^2+d^2-2ad\cos60^\circ=a^2+d^2-ad$. Значит, $KE^2=BD^2$, откуда $KE=BD$.
а) $AE=AK$. б) $KE:BD=1:1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задают направление продолжения стороны $CD$ и получают точку $K$ не за точкой $D$.
Забывают, что $\cos60^\circ=\dfrac12$.
Сравнивают длины $KE$ и $BD$ без вычисления их квадратов.
Используют свойства вписанных углов, но не обосновывают связь между точками $E$ и $K$.