Решение: Расчёт процентной ставки кредита
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга. 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. К 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей?
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D_k$ долг на 15-е число через $k$ месяцев после получения кредита. Так как долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину, эта величина равна:
$$d=\frac{12}{48}=0{,}25\text{ млн рублей}$$Следовательно, долг на 15-е число через $k$ месяцев равен:
$$D_k=12-0{,}25k$$Если на 15-е число предыдущего месяца долг составлял $D_{k-1}$, то 1-го числа следующего месяца после начисления процентов он становится равен $D_{k-1}(1+\frac{r}{100})$. Поэтому платёж за этот месяц равен:
$$P_k=D_{k-1}\left(1+\frac{r}{100}\right)-D_k=0{,}25+\frac{r}{100}D_{k-1}$$В 2030 году совершаются 12 платежей: с 15 января по 15 декабря. Перед ними долги на 15-е число предыдущих месяцев равны $3$, $2{,}75$, ..., $0{,}25$ млн рублей. Их сумма равна:
$$S=\frac{12(3+0{,}25)}{2}=19{,}5\text{ млн рублей}$$Сумма постоянных частей 12 платежей равна $12\cdot0{,}25=3$ млн рублей. По условию общая сумма платежей составляет $3195$ тыс. рублей, то есть $3{,}195$ млн рублей. Поэтому:
$$3+19{,}5\cdot\frac{r}{100}=3{,}195$$Решаем уравнение:
$$\frac{r}{100}=\frac{0{,}195}{19{,}5}=0{,}01$$Следовательно, процентная ставка равна:
$$r=1$$$r=1\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают не 12 платежей в 2030 году, а 11 или 13.
Забывают, что проценты начисляются на долг на 15-е число предыдущего месяца.
Используют сумму начального и конечного долгов без учёта того, что в 2030 году берутся значения от 3 до 0,25 млн рублей.
Путают значение $r$ в долях единицы с процентным значением.