Решение: Ромб и перпендикуляр
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\dfrac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN=5$.
Решение по шагам
11 шаговПусть центр ромба находится в начале координат, диагональ $AC$ лежит на оси $Ox$, а диагональ $BD$ — на оси $Oy$:
$$A(-a,0),\quad C(a,0),\quad B(0,b),\quad D(0,-b)$$Так как $AM:MC=1:2$, точка $M$ делит отрезок $AC$ так, что $AM=\dfrac13 AC$. Следовательно,
$$M\left(-\frac{a}{3},0\right)$$Из отношения $BN:ND=1:3$ следует, что точка $N$ находится на расстоянии $\dfrac14 BD$ от точки $B$:
$$N\left(0,\frac{b}{2}\right)$$Направляющие векторы прямых $MN$ и $BC$ можно взять в виде
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3},\frac{b}{2}\right),\quad \overrightarrow{BC}=(a,-b)$$Так как $MN\perp BC$, их скалярное произведение равно нулю:
$$\frac{a}{3}\cdot a+\frac{b}{2}\cdot(-b)=0$$Отсюда получаем соотношение между половинами диагоналей:
$$\frac{a^2}{3}-\frac{b^2}{2}=0,\quad a^2=\frac{3b^2}{2}$$Угол $BAD$ образован векторами $\overrightarrow{AB}=(a,b)$ и $\overrightarrow{AD}=(a,-b)$. Поэтому
$$\cos\angle BAD=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|AB|\cdot|AD|}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$Подставляя $a^2=\dfrac{3b^2}{2}$, получаем доказательство пункта а):
$$\cos\angle BAD=\frac{\frac32b^2-b^2}{\frac32b^2+b^2}=\frac{\frac12}{\frac52}=\frac15$$Используем длину отрезка $MN$. По формуле расстояния между точками $M$ и $N$:
$$MN^2=\left(\frac{a}{3}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=25$$Подставим $a^2=\dfrac{3b^2}{2}$:
$$\frac{a^2}{9}+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{6}+\frac{b^2}{4}=\frac{5b^2}{12}=25$$Следовательно, $b^2=60$, а значит $a^2=90$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
$$S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{2a\cdot2b}{2}=2ab=2\sqrt{90\cdot60}=60\sqrt6$$а) $\cos\angle BAD=\dfrac15$; б) $S=60\sqrt6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить координаты точек $M$ и $N$ по данным отношениям.
Перепутать направление вектора $\overrightarrow{BC}$ и получить неправильный знак в скалярном произведении.
Использовать формулу площади ромба как $AC\cdot BD$ без множителя $\dfrac12$.
Принять $a$ и $b$ за длины диагоналей, хотя в координатной модели это половины диагоналей.