Решение: Проценты по кредиту
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим первоначальную сумму кредита через $S$, а коэффициент ежегодного увеличения долга через $q=1+\dfrac{r}{100}$.
Если ежегодный платёж равен $A$, то после $n$ лет долг до последнего платежа равен $S q^n$, а сумма накопленных платежей с учётом начислений равна $A(1+q+q^2+\dots+q^{n-1})$.
Для погашения кредита за 4 года при платеже 58 564 рубля получаем:
$$S q^4=58564(1+q+q^2+q^3)$$Для погашения кредита за 2 года при платеже 106 964 рубля получаем:
$$S q^2=106964(1+q)$$Выразим сумму кредита из обоих равенств:
$$S=58564\left(q^{-1}+q^{-2}+q^{-3}+q^{-4}\right)=106964\left(q^{-1}+q^{-2}\right)$$Сократим на $q^{-2}$ и перенесём множители:
$$58564(1+q^{-2})=106964$$Находим квадрат обратного коэффициента:
$$q^{-2}=\frac{106964-58564}{58564}=\frac{48400}{58564}=\frac{220^2}{242^2}$$Так как $q>1$, берём положительный корень:
$$q=\frac{242}{220}=1{,}1$$Следовательно, $1+\dfrac{r}{100}=1{,}1$, откуда:
$$r=10$$$10\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начисление процентов перед каждым ежегодным платежом.
Перепутать коэффициент увеличения долга $q$ с процентной ставкой $r$.
Выбрать отрицательный корень при нахождении $q$.
Составить сумму платежей без учёта разных сроков начисления процентов.