Решение: Срок кредита по сумме выплат
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
Решение по шагам
7 шаговПусть кредит планируется взять на $n$ лет, а ежегодное уменьшение долга в июле равно $d$ млн рублей. Тогда после последнего платежа долг станет равен нулю:
$$nd=10$$Следовательно, в июле перед первым годом долг равен $10$, а долги в июле перед последующими годами образуют последовательность $10, 10-d, 10-2d, \ldots, d$.
В каждом году после начисления процентов долг становится равен $1{,}1D$, где $D$ — долг в июле предыдущего года. После выплаты долг уменьшается до $D-d$. Поэтому выплата за этот год равна:
$$1{,}1D-(D-d)=0{,}1D+d$$Сумма долгов в июле перед всеми выплатами равна сумме арифметической прогрессии с первым членом $10$, последним членом $d$ и количеством членов $n$:
$$\sum D=\frac{n(10+d)}{2}$$Так как $d=\dfrac{10}{n}$, общая сумма выплат составляет:
$$0{,}1\cdot\frac{n\left(10+\frac{10}{n}\right)}{2}+nd=0{,}5(n+1)+10$$По условию общая сумма выплат равна $15$ млн рублей:
$$0{,}5(n+1)+10=15$$Решаем уравнение:
$$0{,}5n+10{,}5=15,\quad n=9$$Кредит планируется взять на 9 лет.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают начисление процентов только на первоначальную сумму кредита.
Считают ежегодную выплату равной только постоянному уменьшению долга.
Забывают, что проценты начисляются до выплаты очередной части долга.
Ошибочно считают количество значений долга в арифметической прогрессии.