Решение: Срок погашения кредита
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок, выраженный целым числом лет. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Решение по шагам
6 шаговПусть кредит взят на $n$ лет, а $x_k$ — долг в июле $k$-го года. По условию июльский долг ежегодно уменьшается на одну и ту же величину и после последнего года становится равным нулю. Поэтому $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1}$ — арифметическая прогрессия, где $x_1=5$, $x_{n+1}=0$.
$$x_k=5-\frac{5(k-1)}{n}$$Сумма июльских долгов за первые $n$ лет равна сумме первых $n$ членов арифметической прогрессии.
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=\frac{5+\frac{5}{n}}{2}\cdot n=\frac{5(n+1)}{2}$$В каждом году после начисления 20% выплачивается сумма, равная увеличенному долгу минус долг, который должен остаться к июлю следующего года. Поэтому общая сумма выплат равна
$$1{,}2(x_1+\cdots+x_n)-(x_2+\cdots+x_n)$$Так как $x_2+\cdots+x_n=(x_1+\cdots+x_n)-5$, получаем
$$1{,}2\cdot\frac{5(n+1)}{2}-\left(\frac{5(n+1)}{2}-5\right)=7{,}5$$Решим уравнение:
$$3(n+1)-\frac{5(n+1)}{2}+5=7{,}5$$После упрощения:
$$0{,}5n+5{,}5=7{,}5,\qquad n=4$$Кредит планируется взять на 4 года.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают начисление 20% только один раз.
Считают, что общая сумма выплат равна сумме июльских долгов.
Неверно включают или исключают долг, оставшийся к июлю следующего года.
Забывают, что июльские долги образуют арифметическую прогрессию, заканчивающуюся нулём.