Шешімі: Объём правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$. Докажите, что $K$ — середина ребра $SD$. Найдите объём пирамиды $SABCD$, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^\circ$.
Шешім по шагам
7 қадамПусть $AB=a$, а высота пирамиды равна $h$. Выберем координаты: $A\left(-\dfrac a2,-\dfrac a2,0\right)$, $B\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,0\right)$, $C\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$, $D\left(-\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$, $S(0,0,h)$. Так как $M$ — середина $AB$, то $M\left(0,-\dfrac a2,0\right)$.
Уравнение плоскости $SBC$ можно записать в виде $2hx+az-ah=0$. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $SBC$ и проходит через точку $M$, её уравнение имеет вид $2hx+az=0$.
$$2hx+az=0$$Точка $K$ лежит на ребре $SD$. Запишем её координаты параметрически: $K=S+t(D-S)=\left(-\dfrac{at}{2},\dfrac{at}{2},h(1-t)\right)$. Подставляя координаты в уравнение плоскости $\alpha$, получаем $-aht+ah(1-t)=0$, откуда $t=\dfrac12$.
$$-aht+ah(1-t)=0\Rightarrow t=\frac12$$Следовательно, $K$ соответствует середине отрезка $SD$, поэтому $K$ — середина ребра $SD$. Тогда $K\left(-\dfrac a4,\dfrac a4,\dfrac h2\right)$.
Найдём горизонтальную проекцию вектора $\overrightarrow{MK}$. Она имеет координаты $\left(-\dfrac a4,\dfrac{3a}{4},0\right)$, поэтому её длина равна $\dfrac{a\sqrt{10}}4$. Вертикальная составляющая равна $\dfrac h2$.
$$\left|\operatorname{pr}_{\text{осн}}\overrightarrow{MK}\right|=\sqrt{\left(\frac a4\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{a\sqrt{10}}4$$Для угла $30^\circ$ между прямой и плоскостью выполняется отношение $\tan 30^\circ=\dfrac{h/2}{a\sqrt{10}/4}$. При $a=24$ получаем $\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{h/2}{6\sqrt{10}}$, откуда $h=4\sqrt{30}$.
$$\tan30^\circ=\frac{h/2}{6\sqrt{10}}\Rightarrow h=4\sqrt{30}$$Площадь основания равна $AB^2=24^2=576$. Поэтому объём пирамиды равен $V=\dfrac13\cdot576\cdot4\sqrt{30}=768\sqrt{30}$.
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h=\frac13\cdot24^2\cdot4\sqrt{30}=768\sqrt{30}$$а) $K$ — середина ребра $SD$; б) $V=768\sqrt{30}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать угол между прямой и плоскостью: тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей к длине горизонтальной проекции.
Забыть множитель $\dfrac13$ в формуле объёма пирамиды.
Вычислить длину проекции $MK$ без учёта обеих горизонтальных координат.