Решение: Тригонометрическое уравнение со степенями
а) Решите уравнение $49^{\sin x}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПредставим левую часть и правую часть уравнения как степени числа $7$:
$$49^{\sin x}=7^{2\sin x},\qquad \left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$$Так как основание $7$ положительно и не равно единице, приравняем показатели степеней:
$$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x$$Используем формулу двойного угла и разложим полученное выражение:
$$2\sin x=2\sqrt{2}\sin x\cos x\quad\Longrightarrow\quad \sin x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0$$Рассмотрим первый случай:
$$\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$Рассмотрим второй случай:
$$1-\sqrt{2}\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb Z$$На отрезок $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ из решений $x=\pi k$ попадают $2\pi$ и $3\pi$. Из решений $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}$ попадает только $\frac{9\pi}{4}$.
а) $x=\pi k$ или $x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}$, где $k\in\mathbb Z$. б) $2\pi$, $\frac{9\pi}{4}$, $3\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют степень $\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$ и получают неправильный знак показателя.
Забывают разделить решение на два случая после разложения произведения на множители.
Не проверяют, какие значения параметра $k$ дают корни на заданном отрезке.
Пропускают корень $x=2\pi$, поскольку он является концом отрезка.