Шешімі: Параллелограмм и высоты
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ$, причём точка $P$ лежит на стороне $AD$, а точка $Q$ — на стороне $CD$. На стороне $AD$ отмечена точка $M$. Известно, что $AM = BP$, $AB = BQ$. а) Докажите, что $BM = PQ$. б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.
Шешім по шагам
5 қадамВведём координаты: $A=(0,0)$, сторона $AD$ лежит на оси абсцисс, а точка $D=(d,0)$. Так как $BP\perp AD$ и $BP=8$, точку $B$ можно записать как $B=(x,8)$. Из $AB=10$ получаем $x^2+8^2=10^2$, откуда $x=6$, поскольку угол $BAD$ острый.
$$B=(6,8),\quad P=(6,0),\quad M=(8,0)$$Прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Поэтому расстояние между ними равно высоте параллелограмма, проведённой к стороне $AB$. Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: $S=AD\cdot BP=AB\cdot BQ$. Следовательно, $AD\cdot 8=10\cdot 10$, откуда $AD=d=\frac{25}{2}$.
$$d\cdot 8=10\cdot 10,\quad d=\frac{25}{2}$$Направляющий вектор стороны $CD$ равен $(6,8)$. Основание перпендикуляра $Q$ лежит на прямой $CD$, поэтому $Q=D+t(6,8)$. Условие $(B-Q)\cdot(6,8)=0$ даёт $t=\frac14$. Следовательно, $Q=\left(14,2\right)$.
$$Q=\left(\frac{25}{2},0\right)+\frac14(6,8)=(14,2)$$Вычислим длины $BM$ и $PQ$: $BM^2=(8-6)^2+(0-8)^2=68$, а $PQ^2=(14-6)^2+(2-0)^2=68$. Длины положительны, поэтому $BM=PQ$, что и требовалось доказать.
$$BM^2=2^2+8^2=68=8^2+2^2=PQ^2$$Основание треугольника $APQ$ лежит на оси абсцисс: $AP=6$, а высота из точки $Q$ равна $2$. Поэтому площадь треугольника равна $\frac12\cdot 6\cdot 2=6$.
$$S_{\triangle APQ}=\frac12\cdot AP\cdot 2=\frac12\cdot6\cdot2=6$$а) $BM=PQ$; б) $S_{\triangle APQ}=6$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что из остроты угла $BAD$ следует положительная абсцисса точки $B$.
Қате использовать условие $BQ=10$: это высота к стороне $AB$, а не высота к стороне $AD$.
При вычислении площади треугольника $APQ$ взять в качестве высоты координату точки $Q$ без предварительного нахождения её координат.