Решение: Тригонометрическое уравнение с синусом
Решите уравнение $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
8 шаговПреобразуем косинус двойного угла:
$$\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x = 2\sin^2 x - 1$$Подставим это выражение в исходное уравнение и учтём, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:
$$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$$Обозначим $t=\sin x$. Получаем квадратное уравнение:
$$4t^2 + 2(\sqrt{2}-\sqrt{3})t - \sqrt{6}=0$$Дискриминант равен $D=4(5+2\sqrt{6})=4(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$. Поэтому:
$$t=\frac{-2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\pm 2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{8}$$Находим значения синуса:
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{или}\quad\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$Общие решения первого уравнения:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$Общие решения второго уравнения:
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$Отбираем решения на отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$. Подходят значения:
$$x=\frac{13\pi}{3},\quad x=\frac{13\pi}{4},\quad x=\frac{15\pi}{4}$$$x=\dfrac{13\pi}{4},\ \dfrac{13\pi}{3},\ \dfrac{15\pi}{4}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\cos(\pi-2x)$ и получают неправильный знак.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно $\sin x$.
Не проверяют принадлежность найденных корней заданному отрезку.