Решение: Тригонометрическое уравнение с отбором корней
Решите уравнение $2\sqrt{3}\sin^2\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin 2x=0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговИспользуем тождество $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$ и формулу двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
$$2\sqrt{3}\cos^2x+2\sin x\cos x=0$$Вынесем общий множитель:
$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0$$Решаем первое уравнение произведения:
$$\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$Решаем второе уравнение произведения:
$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad \tan x=-\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$Отбираем корни первой серии на заданном отрезке. При $k=-4$ и $k=-3$ получаем $x=-\dfrac{7\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{5\pi}{2}$.
$$\dfrac{\pi}{2}+\pi k\in\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad k\in\{-4,-3\}$$Для второй серии на отрезок попадает только значение при $k=-3$:
$$-\dfrac{\pi}{3}-3\pi=-\dfrac{10\pi}{3}$$Общее решение: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$: $x=-\dfrac{10\pi}{3},-\dfrac{7\pi}{2},-\dfrac{5\pi}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)$ и забывают, что квадрат устраняет знак.
Теряют множитель $\cos x$ при разложении уравнения.
Не учитывают концы заданного отрезка при отборе корней.