Решение: Тригонометрическое уравнение с отбором корней
Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=3\cos x+1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем скобки и преобразуем двойной угол:
$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2x-1$$Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$$\sin x+\sqrt3\cos x+2\cos^2x-1=3\cos x+1$$Получаем уравнение:
$$\sin x+2\cos^2x-(3-\sqrt3)\cos x-2=0$$Используем универсальную тригонометрическую подстановку $t=\tan\dfrac{x}{2}$:
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$После умножения на $(1+t^2)^2$ получаем алгебраическое уравнение:
$$(3-\sqrt3)t^4+2t^3-8t^2+2t-(3-\sqrt3)=0$$Его действительные корни: $t_1=\sqrt3$ и $t_2\approx-3{,}524$. Поэтому соответствующие решения имеют вид:
$$x_1=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad x_2\approx-2{,}589+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$Проверим корни на отрезке $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$. Из первой серии решений подходящего значения нет. Для второй серии при $k=-1$ получаем $x\approx-8{,}872$, что принадлежит заданному отрезку.
а) $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ или $x\approx-2{,}589+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$. б) На отрезке $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$ находится корень $x\approx-8{,}872$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают формулу синуса суммы.
Теряют множитель $1+t^2$ при использовании подстановки $t=\tan\dfrac{x}{2}$.
Не учитывают периодичность решений при отборе корней на заданном отрезке.
Выбирают корень, находящийся вне отрезка.