Решение: Сечение треугольной пирамиды
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Решение по шагам
9 шаговВыберем аффинную систему координат с началом в точке $B$ и базисом $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$. В координатах вершин имеем $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$.
Из условий деления рёбер получаем координаты точек:
$$M=\left(\frac{2}{3},0,0\right),\quad N=\left(0,\frac{2}{3},0\right),\quad P=\left(\frac12,0,\frac12\right),\quad Q=\left(0,\frac12,\frac12\right)$$Плоскость через точки $P$, $Q$ и $M$ имеет уравнение $x+y+\frac{z}{3}=\frac{2}{3}$. Проверим точку $N$:
$$0+\frac{2}{3}+\frac{0}{3}=\frac{2}{3}$$Следовательно, точка $N$ принадлежит плоскости $PQM$. Значит, точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
Плоскость пересекает рёбра пирамиды в точках $P$, $M$, $N$, $Q$. Часть пирамиды около вершины $D$ имеет вершины $D$, $P$, $M$, $N$, $Q$. Разобьём её диагональю $PN$ на тетраэдры $DPMN$ и $DPNQ$.
Относительно базисного тетраэдра объём тетраэдра $DPMN$ определяется определителем:
$$\frac{V_{DPMN}}{V_{ABCD}}=\left|\det\begin{pmatrix}\frac12&\frac23&0\\0&-1&-1\\0&0&\frac23\end{pmatrix}\right|=\frac{2}{9}$$Аналогично для тетраэдра $DPNQ$:
$$\frac{V_{DPNQ}}{V_{ABCD}}=\left|\det\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&-1&0\\0&\frac23&\frac12\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{6}$$Поэтому объём части около вершины $D$ равен:
$$\frac{V_1}{V_{ABCD}}=\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{7}{18}$$Объём второй части составляет $\frac{11}{18}$ объёма пирамиды. Следовательно, отношение объёмов двух многогранников равно:
$$V_1:V_2=\frac{7}{18}:\frac{11}{18}=7:11$$Точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ компланарны; отношение объёмов получившихся многогранников равно $7:11$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты точек $M$ и $N$ при отношении $1:2$.
Считают, что плоскость $PQM$ пересекает только три ребра пирамиды и не учитывают точку $N$.
Неправильно складывают объёмы тетраэдров, составляющих часть пирамиды около вершины $D$.
Записывают отношение объёмов как $11:7$, не указав порядок частей.