Сечение параллелепипеда плоскостью

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 15 · Стереометрия

ВысокаяФИПИ17B23FРазвёрнутое решение≈ 15 минут

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью $α$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой $A C$ , является ромб.

а) Докажите, что грань $A B C D$ $—$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $B C C_{1}$ , если $A A_{1} = 6$ , $A B = 4$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Какие отрезки образуют стороны сечения и как их длины связаны с рёбрами параллелепипеда?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Введя координаты $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,b,0)$, $A_1(0,0,h)$, найдите уравнение плоскости $\alpha$ и её нормаль.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Стороны сечения имеют длины $\sqrt{a^2+\dfrac{h^2}{4}}$ и $\sqrt{b^2+\dfrac{h^2}{4}}$, поэтому из условия ромба следует $a=b$. Для $a=b=4$, $h=6$ нормаль к $\alpha$ имеет координаты $(24,-24,32)$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяРомб в правильной призмеСледующаяСечение правильной пирамиды

Задание 15 ЕГЭ, математика, профиль