Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение стороны $AD$ за точкой $D$ в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точкой $D$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK = BE$.
б) Найдите отношение $KE : AC$, если $\angle BAD = 30^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает продолжение стороны за точку в точке и пересекает продолжение стороны за точку в точке . а) Докажите, что . б) Найдите отношение , если .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте $AB=a$, $AD=b$, а угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ — через $\alpha$. Используйте свойства пересекающихся хорд или уравнение окружности.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если $DE=x$, $DK=y$, то из уравнения окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$, получаются зависимости $x=\dfrac{2ab\cos\alpha}{b^2}$ и $y=\dfrac{2ab\cos\alpha}{a^2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $\alpha=30^\circ$ вычислите $KE^2$ и $AC^2$ по теореме косинусов. После сокращения получится $KE^2=3AC^2$, поэтому $KE:AC=\sqrt{3}:1$.