Биссектриса и площади фигур
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
Докажите, что $AB:BC = AE:EK$. Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:DC = 5:2$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне треугольника отмечена точка так, что Биссектриса треугольника пересекает прямую в точке а) Докажите, что б) Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте теорему о биссектрисе и рассмотрите треугольники, связанные с прямой $AD$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из $AB=BD$ следует равенство углов $BAD$ и $ADB$. Для доказательства первого пункта удобно применить теорему синусов в треугольниках $ABE$ и $CEK$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
По теореме о биссектрисе $AE:ED=AB:BC$. Так как $AB=BD$, то $AE:ED=BD:BC$. Далее используйте равенство углов и перпендикулярность $CK\perp AD$, чтобы получить $AE:EK=AB:BC$. При $BD:DC=5:2$ положите $BD=5$, $DC=2$ и примените теорему о биссектрисе к сторонам $AB$ и $BC$.