Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 74^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AD}=\vec v$, а $|AB|=a$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$ и $|AC|=2a$.
Так как угол между $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD=74^\circ$, имеем
$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|\,|\vec u+\vec v|\cos74^\circ=2a^2\cos74^\circ$$Следовательно, $\vec u\cdot\vec v=a^2(2\cos74^\circ-1)$. Из равенства $|\vec u+\vec v|^2=4a^2$ получаем
$$|\vec v|^2=a^2(5-4\cos74^\circ)$$Вторая диагональ имеет вектор $\vec{BD}=\vec v-\vec u$. Вычислим скалярное произведение диагоналей и длину второй диагонали:
$$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec v-\vec u)=4a^2(1-\cos74^\circ),\quad |\vec v-\vec u|^2=8a^2(1-\cos74^\circ)$$По формуле скалярного произведения для угла $\varphi$ между диагоналями:
$$\cos\varphi=\frac{4a^2(1-\cos74^\circ)}{2a\cdot a\sqrt{8(1-\cos74^\circ)}}=\sqrt{\frac{1-\cos74^\circ}{2}}=\sin37^\circ=\cos53^\circ$$Угол между диагоналями берут меньший, поэтому $\varphi=53^\circ$.
Где здесь ошибаются
Взять дополнительный угол $127^\circ$ вместо меньшего угла между диагоналями.
Неверно определить угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$.
Забыть, что $AC=2AB$.