Шешімі: Биссектриса в параллелограмме
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $CM$ — биссектриса угла $BCD$.
Шешім по шагам
5 қадамОбозначим длину стороны $CD$ через $a$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны равны: $|AD|=|BC|$. По условию $|AD|=2|CD|$, поэтому $|BC|=2a$, а $|CD|=a$.
$$|BC|=|AD|=2a,\quad |CD|=a$$Поскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}$. В параллелограмме $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, поэтому $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{BC}$.
$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\overrightarrow{BC}$$Разложим вектор $\overrightarrow{CM}$ по пути $C\to D\to M$ или $C\to B\to A\to M$. Удобно использовать равенство $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}$. Так как $DM=\frac12 AD$ и $\overrightarrow{DM}=\frac12\overrightarrow{BC}$, получаем:
$$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}+\frac12\overrightarrow{CB}$$Так как $|CB|=2a$ и $|CD|=a$, то $\frac12\overrightarrow{CB}=a\frac{\overrightarrow{CB}}{|CB|}$, а $\overrightarrow{CD}=a\frac{\overrightarrow{CD}}{|CD|}$. Следовательно,
$$\overrightarrow{CM}=a\left(\frac{\overrightarrow{CB}}{|CB|}+\frac{\overrightarrow{CD}}{|CD|}\right)$$Векторная сумма единичных векторов, направленных вдоль сторон угла $BCD$, направлена по его внутренней биссектрисе. Значит, вектор $\overrightarrow{CM}$ направлен по биссектрисе угла $BCD$.
Так как $\overrightarrow{CM}=a\left(\frac{\overrightarrow{CB}}{|CB|}+\frac{\overrightarrow{CD}}{|CD|}\right)$, луч $CM$ является внутренней биссектрисой угла $BCD$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате использовать равенство $AD=CD$ вместо условия $AD=2CD$.
Забыть, что в параллелограмме $AD=BC$ и $AD\parallel BC$.
Утверждать, что сумма самих векторов $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$ задаёт биссектрису, не учитывая различие длин этих векторов.
Не обосновать, почему сумма единичных векторов направлена по биссектрисе.