Решение: Основания трапеции по отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $18^\circ$ и $72^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $15$ и $4$. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
8 шаговОтрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Поэтому его длина равна полусумме оснований.
$$\frac{a+b}{2}=15$$Следовательно, сумма оснований равна:
$$a+b=30$$Пусть высота трапеции равна $h$. Горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot18^\circ$ и $h\cot72^\circ$. Поэтому разность оснований равна:
$$|a-b|=h\left(\cot18^\circ+\cot72^\circ\right)$$Отрезок длиной $4$, соединяющий середины оснований, имеет вертикальную составляющую $h$ и горизонтальную составляющую $\frac{h}{2}(\cot18^\circ-\cot72^\circ)$. Поэтому:
$$4^2=h^2+\frac{h^2}{4}\left(\cot18^\circ-\cot72^\circ\right)^2$$Так как $\cot18^\circ\cdot\cot72^\circ=1$, получаем:
$$16=\frac{h^2}{4}\left(\cot18^\circ+\cot72^\circ\right)^2$$Значит, разность оснований равна удвоенной длине этого отрезка:
$$|a-b|=2\cdot4=8$$Решаем систему для оснований:
$$a+b=30,\quad |a-b|=8$$Получаем два основания:
$$a=\frac{30+8}{2}=19,\quad b=\frac{30-8}{2}=11$$Основания трапеции равны $19$ и $11$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают среднюю линию трапеции с разностью оснований.
Забывают, что отрезок длиной $4$ соединяет середины оснований, а не середины боковых сторон.
В ответе указывают только сумму или только разность оснований, но не находят сами основания.