Решение: Хорда в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 34$, а сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$.
Решение по шагам
6 шаговПо теореме о пересекающихся секущих, проведённых из точки $A$, произведения соответствующих отрезков равны:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Так как $AP = 34$, получаем:
$$\frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{34}{AB}$$Угол $KAP$ равен углу $CAB$, так как точки $K$ и $B$ лежат на одной прямой, а точки $P$ и $C$ — на другой. Из равенства вписанных углов, опирающихся на дугу $KC$, следует, что $\angle AKP = \angle ACB$. Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны.
$$\triangle AKP \sim \triangle ACB$$Из условия $BC$ в 2 раза меньше $AB$, то есть $BC = \frac{AB}{2$. Поэтому коэффициент подобия треугольников $AKP$ и $ACB$ равен:
$$\frac{AP}{AB} = \frac{34}{AB}$$Из теоремы о секущих также следует, что этот коэффициент равен $\frac{1}{2}$ в отношении соответствующих сторон $KP$ и $BC$:
$$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} = \frac{1}{2}$$Следовательно, длина отрезка $KP$ равна половине длины $BC$. С учётом условия и установленного коэффициента получаем:
$$KP = \frac{BC}{2} = 17$$17
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неправильно применяют теорему о пересекающихся хордах вместо теоремы о секущих из точки $A$.
Путают соответствующие стороны при установлении подобия треугольников.
Не учитывают, что сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$.