Решите уравнение 1/((x-3)²)-3/(x-3)-4=0.

Решение: Решение дробно-рационального уравнения

ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений

ПовышеннаяФИПИC0319FРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 7 шагов

Условие

Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-3)^2}-\dfrac{3}{x-3}-4=0$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

7 шагов

Определим область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю.

$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3$$

Введём замену переменной.

$$t=\dfrac{1}{x-3}$$

После замены исходное уравнение принимает вид:

$$t^2-3t-4=0$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни.

$$(t-4)(t+1)=0,\quad t_1=4,\quad t_2=-1$$

Вернёмся к переменной $x$ и решим полученные уравнения.

$$\dfrac{1}{x-3}=4\Rightarrow x-3=\dfrac14\Rightarrow x=\dfrac{13}{4}$$

Для второго значения переменной получаем:

$$\dfrac{1}{x-3}=-1\Rightarrow x-3=-1\Rightarrow x=2$$

Оба найденных значения допустимы, так как не равны $3$.

Ответ

x=2;\ \dfrac{13}{4}

Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.

Не учитывать ограничение $x\ne 3$.

Потерять корень при обратной замене.

Неверно разложить выражение $t^2-3t-4$ на множители.

Закрепить приёмВ теме «Решение уравнений» ещё 219 задач — с ответом и таким же разбором.